6.2 指数函数-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）.docxVIP

6.2指数函数

【考点梳理】

考点一n次方根、n次根式

1．a的n次方根的定义

一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

2．a的n次方根的表示

n的奇偶性

a的n次方根的表示符号

a的取值范围

n为奇数

eq\r(n,a)

a∈R

n为偶数

±eq\r(n,a)

[0，＋∞)

3.根式

式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

考点二根式的性质

1.eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)．

2．(eq\r(n,a))n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．

3.eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)．

4.eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．

考点三分数指数幂的意义

分数指数幂

正分数指数幂

规定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)

负分数指数幂

规定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)

0的分数指数幂

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义

考点四有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

重难点考点无理数指数幂及其运算性质

考点五无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

考点六二实数指数幂的运算性质

1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．

2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．

3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．

考点一：指数函数的定义

一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

考点二：两类指数模型

1．y＝kax(k>0)，当a>1时为指数增长型函数模型．

2．y＝kax(k>0)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型．

重难点技巧：指数函数的图象和性质

考点三：指数函数的图象和性质

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

a>1

0<a<1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点

过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1

函数值的变化

当x>0时，y>1；

当x<0时，0<y<1

当x>0时，0<y<1；

当x<0时，y>1

单调性

在R上是增函数

在R上是减函数

考点四：比较幂的大小

(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；

(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．

考点五：解指数方程、不等式

(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；

(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；

(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．

考点六指数型函数的单调性

一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质

(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．

(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．

【题型归纳】

题型一：利用根式的性质化简或求值

1．（2021·全国·高一）化简的结果是（????）

A．1－2x B．0

C．2x－1 D．(1－2x)2

2．（2022·全国·高一）下列说法正确的个数是（）

①49的平方根为7；②；③；④．

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（2022·全国·高一单元测试）化简（????）

A． B． C．2 D．

题型二：指数和指数幂的运算

4．（2022·浙江·高一期中）已知，，则的值为（????）

A． B． C．36 D．

5．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知，则（????）

A．3 B．5 C．7 D．9

6．（2022·全国·高一单元测试）设，下列计算中正确的是（?????）

A． B．

C． D．

题型三：运用指数幂运算公式化简求值

7．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）化简的结果为（????）

A． B． C．1 D．

8．（2022·福建·福州三中高一期中）（1）求值：；

（2）已知：，求的值．

9．（2022·安徽·高一期中）计算或化简下列各式：

(1)；(2)．

题型四：指数函数的概念

10．（