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函数展开成

幂级数的方法

1.直接展开法

x

把函数f(x)展开成的幂级数的步骤:

第一步求出f(x),f(x),,f(n)(x),,

第二步求出f(0),f(0),f(0),,f(n)(0),,

f(n)(0)n

第三步写出幂级数x,并求出收敛半径R.

n0n!

f(n1)(x)n1

第四步利用R(x)x(01),

n(n1)!

考察当xR时limR(x)是否为零.若limR(x)0,则

nn

nn

f(0)2f(n)(0)n

f(x)f(0)f(0)xxx

2!n!

(RxR).

x

x

例将函数f(x)e展开成的幂级数.

解f(n)(x)ex(n1,2,),

f(0)1,f(n)(0)1(n1,2,).

121n

得级数1xxx收敛半径为R.

2!n!

n1

en1|x||x|

x

|R(x)|e.

n(n1)!(n1)!

|x||x|n1

x|R(x)|e

e有限,n(n1)!

|x|n1|x|n1

是收敛级数的一般项,

(n1)!n0(n1)!