空间直线与直线面平行或垂直的判定.docx

空间直线

空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面.

公理4平行于同一直线的两条直线互相平行.

定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或

直角）相等.

异面直线所成的角

直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线

a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．

异面直线的距离

和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．

[要点内容]

空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面。相交直线和平行直线都是共面直线，异面直线是立体图形。

空间两直线的位置关系分类

从有无公共点的角度看，可分为两类：

（1）两条直线有且仅有一个公共点—相交直线；

异面直线概念的理解

“不同在任何一个平面内的两条直线”，是指这两条直线不能同时在任何一个平面内。注意：分别在某两个平面内的两条直线，不一定是异面直线，它们可能是相交直线，也可能是平行直线，如图。

异面直线的画法及判定

画异面直线时，以平面为衬托，可使两直线不能共面的特点显示得更清楚，如图

判定两条直线是异面直线的方法：

方法一，利用：“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。”

方法二，利用反证法，假设这两条直线不是异面直线，推导出矛盾。这可能是与公理矛盾、与定理矛盾、与定义矛盾、与已知条件或事实矛盾等。

对于两条异面直线所成的角的定义应注意以下几点：

取直线a′、b′所成的锐角（或直角）作为异面直线a、b所成的角。

在这个定义中，空间一点是任意选取的，根据等角定理，可以判定异面直线a和b所成的角和a′和b′所成的锐角（或直角）相等，而与点O的位置无关。

由于异面直线a、b所成的角与点O的位置无关，一般情况下，可将点O取在直线a

或b上。

求两条异面直线所成的角，主要方法有（1）平移；（2）补形。

两条异面直线所成角的范围是

两条异面直线的公垂线是一条直线，它具有和这两条异面直线都垂直，并且都相交这样两个属性。对于任意两条异面直线，它们的公垂线有且只有一条。因此，它们的公垂线段也是存在且唯一的。这就是说，对于任意两条异面直线，它们间的距离是唯一确定的。

求两条异面直线的距离，一般可根据它的定义分两步进行：

（1）确定两条异面直线的公垂线；（2）计算公垂线段的长度。

[重点] 1．空间直线的三种位置关系2．两条异面直线所成角和距离的概念

3．反证法的运用[难点]1．反证法的运用

求两条异面直线所成的角

计算已经给出公垂线的两条异面直线的距离

空间两条直线的三种位置关系

注意：异面直线概念的理解：不同在任何一个平面内，意思是不存在平面 ，使 且

。

既不平行，又不相交的两条直线一定是异面直线。可据此用反证法证明两条直线为异面直线。

平行公理与等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。注意：在等角定理中强调两角方向相同。如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角

相等或互补。

等角定理和平行公理是我们求解两条异面直线所成角的理论基础和重要工具。

两条异面直线所成的角和两条异面直线间的距离。

由于两条异面直线不相交，因此表示两条异面直线的相对位置要引入所成角的概念。在异面

直线所成角的定义中，注意：①异面直线所成角的范围是 ；②空间一点可任意选取，而所成的角不会改变；③为方便起见，一般将点取在一条异面直线上的一个特殊点上。

两条异面直线间的距离指两条异面直线的公垂线段的长度。注意：公垂线与两条异面直线既要垂直，又要相交。

[例题分析]

第一阶梯

[例1]已知：四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的四边形），E、H分别是边AB、

AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且 求证：四边形EFGH是梯形.

证明：连BD

（2）∵CC′∥BB′，

∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角．

∵=∠A′BB′=45°，

∴BA′和CC′所成的角是45°．

（3）∵AB⊥AA′，AB∩AA′=A，又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，

∴AB是BC和AA′的公垂线段．

∵AB=a，

∴BC和AA′的距离是a．

说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距