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数值分析期末试卷带答案

一、选择题

1.下列关于计算机浮点数的说法，错误的是（）。

A.浮点数在计算机中采用定点数表示

B.浮点数能够较好地描述科学计算中不同量级的数据

C.浮点数在计算机中存储的精度有限制

D.浮点数能够在计算机中进行基本运算

答案：A

2.考虑计算积分$\int_{0}^{1}x^{3}e^{-x}dx$，下列说法正确的是（）。

A.该积分可以通过变换使其变成贝塞尔积分

B.该积分可以通过分部积分法直接求解

C.该积分可以通过变换使其变成Gauss-Legendre积分

D.该积分可以通过复化梯形公式求解

答案：B

3.以$x_{0}$为起点，构造m阶龙格-库塔法的一般式为（）。

A.$y_{n+1}=y_{n}+hf(y_{n},x_{n})$

B.$y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{2}(f(y_{n},x_{n})+f(y_{n+1},x_{n+1}))$

C.$y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{2}(f(y_{n},x_{n})+f(y_{n+1},x_{n+1}))+O(h^{3})$

D.$y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{6}(k_{1}+4k_{2}+k_{3})$

答案：D

4.求解非线性方程$x^{3}-3x-1=0$的数值方法中，以下哪种方法不属于单步方法（）。

A.逐次逼近法

B.牛顿法

C.割线法

D.法迭代法

答案：C

5.离散曲率的基本定义是（）。

A.$\kappa_{i}=\frac{y_{i-1}-2y_{i}+y_{i+1}}{(h_{i-1}+h_{i})^{2}}$

B.$\kappa_{i}=\frac{y_{i+1}-y_{i}}{h_{i}}$

C.$\kappa_{i}=\frac{2(y_{i+1}-y_{i-1})}{h_{i-1}(x_{i}-x_{i-1})+h_{i}(x_{i+1}-x_{i})}$

D.$\kappa_{i}=\frac{f''(x_{i})}{[1+(f'(x_{i}))^{2}]^{3/2}}$

答案：D

二、填空题

1.不动点迭代法的基本格式是$g(x)=x$，所谓不动点是指若$x=g(x)$，则$x$为$g(x)$的______。

答案：不动点

2.用广义龙格-库塔法求解初值问题$y'(x)=y^{2}+x^{2}+2x+1$，$y(0)=1$，其中假定$h=0.1$，即为一阶方法，其本次迭代的结果是$y_{1}=_____.$

答案：1.21

3.大部分插值法的运算量太大，因此一般要使用______的插值法。

答案：多项式

4.基于压缩矩阵对称性的稠密矩阵迭代方法有______和______两种。

答案：平均对角线法、广义极小割

5.用$Cubic-Spline$插值法求解函数$f(x)=\sin{x}$在区间$[0,\pi/6]$的插值函数，所得插值函数在$x=\pi/8$处的近似值为______。

答案：0.395

三、简答题

1.请简述截断误差的定义及其在数值分析中的应用。

答：截断误差是指用数值方法求近似解时，所引入的误差。在数值分析中，通过分析数值算法的截断误差来评估算法的有效性和稳定性。对于一些特殊情况，比如有界算法，截断误差分析也可以用来证明算法的收敛性。

2.请说明如何使用迭代法解非线性方程。

答：通常使用迭代法解非线性方程的步骤如下：先在区间[a,b]内选取一个初值$x_{0}$，然后根据一个递推公式$x_{n+1}=f(x_{n})$进行迭代，每迭代一次得到一个新的近似解$x_{n+1}$。直到满足某个精度要求为止。其中函数$f(x)$是给定的非线性方程的求解函数。

3.请简述微分方程初值问题及求解方法。

答：微分方程初值问题指的是，给定一个微分方程的初值，如$y'(x)=f(x,y(x))$，$y(x_{0})=y_{0}$，求解在$x\in[x_{0},x_{n}]$范围内的函数$y(x)$。求解微分方程初值问题的方法有很多种，如数值微分和数值积分、欧拉法、龙格-库塔法、多步法、多级方法等。

四、计算题

1.使用最小二乘线性插值法求解一组数据的函数拟合。已知一组数据$(x_{1},y_{1})=(1,1)$，$(x_{2},y_{2})=(3,4)$，$(x_{3},y_{3})=(5,2)$。请计算二次多项式的系数并绘制函数图像。

答：将数据拟合为二次多项式$f(x)=ax^{2}+bx+c$，列出方程

$$

\begin{cases}

a+b+c=1\\

9a+3b+c=4\\

25a+5b+c=2

\end{cases}

$$

进行求解有$a=-\frac{1}{8}$，$b=\frac{13}{8}$，$c=\frac{5}{4}