毕业论文-广义逆矩阵的求法探讨.doc

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广义逆矩阵的求法探讨

theseekingofthedharmaandresearchintogeneralizedinversematrix

专业:数学与应用数学

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指导老师:

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二○一

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摘要

本文介绍了广义逆矩阵的定义，讨论了由Moore-Penrose方程所定义的各种广义逆的性质，在广义逆矩阵的初等变换法和满秩分解法的基础上，研究了几种特殊的广义逆矩阵的计算方法.

关键词:广义逆矩阵；满秩分解；消元；初等变换法

Abstract

ThisarticlediscussesthesystemofgeneralizedInversematricesdefined,discussedbytheMoore-PenroseequationisdefinedbythenatureofthevariousGeneralizedinverse,generalizedinversematrixelementarytransformationandfullrankdecomposition,studiedseveralparticulargeneralizedinversematrixcalculatio.

Keywords:Generalizedinversematrix;fullrankdecomposition;elimination;elementarytransformation

目录

TOC\o1-3\h\z\u摘要 I

Abstract II

0引言 1

1广义逆矩阵的概念与定理 8

2广义逆矩阵的计算方法 8

2.1广义逆矩阵的奇异值分解法 8

2.2广义逆矩阵的最大值秩分解法 9

2.2极限法求广义逆矩阵 9

2.3广义逆矩阵的满秩分解法 11

2.4初等变换法求广义逆矩阵 15

参考文献 21

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0引言

矩阵逆的概念只对非奇异方阵才有意义.但是，在实际问题中，我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵，也不都是非奇异的。因此，有必要推广逆矩阵的概念.为此，本文给出了广义逆矩阵的定义，并利用广义逆的性质，给出其计算方法。

1广义逆矩阵的概念与定理

定义1.1设是的矩阵，若的矩阵满足如下四个方程的全部或者一部分，则称为的广义逆矩阵，简称广义逆.

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

则称是的逆，记为.

如果某个只满足（1.1）式，为的{1}广义逆，记为G{1}；如果另一个

满足（1.1），（1.2）式，则称为的{1,2}广义逆，记为{1，2}；如果{1，2，3，4}，则是逆等.下面介绍常用的5种

{1},{1,2}，{1,3},{1,4},{1,2,3,4}

每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下：

{1}中任意一个确定的广义逆，称作减号广义逆，或g逆，记为；

{1,2}中任意一个确定的广义逆，称作自反减号逆，记为；

{1,3}中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为；

{1,4}中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为；

{1,2,3,4}：唯一一个，称作加号逆，或，记为.

定义1.2设是的矩阵（,当时，可以讨论），若有一个的矩阵（记为）存在，使下式成立，则称为的减号广义逆或者逆：

(1.5)

当存在时，显然满足上式，可见减号广义逆是普通广义逆矩阵的推广；另外，由得

可见，当为的一个减号广义逆时，就是的一个减号广义逆.

定义1.3设的特征值为

则称为矩阵的正奇异值，简称奇异值.

定义1.4设矩阵

，

如果时存在；或者当时，存在有，称这两种长方阵为最大秩方阵（满秩方阵），前者又称行最大秩矩阵（行满秩矩阵），后者又称为列最大秩矩阵（列满秩矩阵）.

定义1.5设是矩阵,若有矩阵满足(或),则称为的右逆(或左逆),记为(或).

定理1.1设是的矩阵，则的逆存在且唯一.