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G单元立体几何

G1空间几何体的结构

5.G1[2018·全国卷Ⅰ]已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 ()

A.122π B.12π

C.82π D.10π

5.B[解析]因为圆柱的轴截面是正方形,且面积为8,所以圆柱的高为22,底面直径为22,所以圆柱的表面积S=2π×2×22+2×π×(2)2=12π.故选B.

16.G1[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.?

16.8π[解析]如图所示,设圆锥的底面圆的圆心为O,母线长为l,则12l2=8,解得l=4,即SA=4.连接OS,OA,因为SA与圆锥底面所成的角为30°,所以SO=2.在直角三角形SOA中,AO=SA2-SO2=42-22=23,所以圆锥的体积V=13

G2空间几何体的三视图和直观图

9.G2[2018·全国卷Ⅰ]某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图1-2所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为 ()

图1-2

A.217 B.25

C.3 D.2

9.B[解析]由三视图可知圆柱表面上点M,N的位置如图①,将圆柱的侧面展开得到图②.在圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径即为侧面展开图中的线段MN,MN=22+1642=2

3.G2[2018·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图1-1中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ()

图1-1

图1-2

3.A[解析]卯眼的空间立体图如图,同时需要注意在三视图中,看不见的线用虚线表示,故选A.

3.G2[2018·浙江卷]某几何体的三视图如图1-1所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 ()

图1-1

A.2 B.4

C.6 D.8

3.C[解析]该几何体为直四棱柱,如图所示,底面是直角梯形,其面积为12×(1+2)×2=3,又四棱柱的高为2,故体积为2×3=6,故选C

G3平面的基本性质、空间两条直线

17.G3、G5[2018·天津卷]如图1-4,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=23,∠BAD=90°.

(1)求证:AD⊥BC;

(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;

(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

图1-4

17.解:(1)证明:由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.

(2)取棱AC的中点N,连接MN,ND.

因为M为棱AB的中点,故MN∥BC,

所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.

在Rt△DAM中,AM=1,故DM=AD2+

因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.

在Rt△DAN中,AN=1,故DN=AD2+

在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=12MNDM

所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326

(3)连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=3.

又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM?平面ABC,故CM⊥平面ABD,

所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.

在Rt△CAD中,CD=AC2+

在Rt△CMD中,sin∠CDM=CMCD=3

所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34

G4空间中的平行关系

19.G5,G4[2018·全国卷Ⅲ]如图1-5,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.

(1)证明:平面AMD⊥平面BMC.

(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.

图1-5

19.解:(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.

因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.

又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.

而DM?平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.

证明如下:连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为