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变量之间的关系

知识梳理

1．概念

变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量是变量。

自变量、因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0随SKIPIF1<0的变化而变化，我们就说SKIPIF1<0是自变量，SKIPIF1<0是因变量。

常量：在某一个变化过程中，数值始终保持不变的量是常量。

2．自变量与因变量的区别

自变量

因变量

区别

先发生变化或主动发生变化的量

后发生变化或随着自变量的变化而变化的量

联系

两者都是某一变化过程中的变量；

两者因研究的侧重点或无先后顺序不同可以互相转化

3．表示方法：

表格法：借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

表格法的基本特征是：表示两个变量之间的表格，一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量，从表格中可以发现因变量随自变量变化而存在一定的变化规律，从而可以利用变化趋势对结果作出预测。

关系式法：利用等式表示两个变量之间的关系。

关系式的基本特征是：（1）等式的左边是因变量，等式的右边是关于自变量的代数式；（2）等式中只含有自变量和因变量两个变量，其他的量都是常数；（3）自变量可在允许的范围内任意取值。

图像：将一个变量随着另一个变量的变化而变化的情况绘制成一条曲线，这条曲线称为两个变量之间关系的图像。

图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间关系的方法，叫做图像法。

4．变式变量之间关系的方法的优缺点

方法

优点

缺点

列表法

对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把因变量的值找到，查询时很方便，于是一些数学用表应运而生

只能列出部分自变量与因变量的对应值，难以反映变量之间变化的全貌，而且从表中看不出变量间的对应规律

关系式法

简明扼要，规范准确

有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示，求对应值也需要逐个计算，比较麻烦。

图像法

形象直观，可以形象地反映出食物变化的全过程、变化的趋势和某些性质（如因变量的增减变化、点的对称、最大或最小值等）

图像是近似的、局部的，由观察图像确定的因变量的值往往不够准确。

例题精讲

考点1．变量、自变量、因变量、常量

例1．甲、乙两城市相距300千米，在甲城市有一列火车以每小时100千米的速度向乙城市行驶，SKIPIF1<0小时后火车与乙城市的距离为SKIPIF1<0千米，在这个问题中，是常量，是自变量，是因变量。

变式1.下列各题中，哪些量在发生变化？其中的自变量与因变量各是什么？

（1）用总长为60m的篱笆围城一个边长为SKIPIF1<0(m)、面积为S（㎡）的矩形场地；

（2）正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加y。

变式2．小明帮妈妈预算家庭4月份电费的开支情况，下表是小明家4月处连续8天每天早上电表显示的读数。

日期

1

2

3

4

5

6

7

8

电表读数

21

24

28

33

39

42

46

49

（1）表格中反映的变量是，自变量是，因变量是。

（2）估计小明家4月份（按30天计）用电量是，若每度电0.55元，估计他家4月份应交电费元。

小结：

考点2.表格法表示变量之间的关系

例2.下表是一次秋汛期某河流在一天内涨水情况，警戒水位是25米。

时间（时）

0

4

8

12

16

20

24

超警戒水位（米）

+0.2

+0.25

+0.35

+0.5

+0.7

+0.9

+1.0

（1）上表反映了与之间的关系，其中是自变量，是因变量；

（2）估计上午10时的超警戒水位是；

（3）从0时到24时，水位从上升到；

（4）借助表格，从时到时，水位上升最快。

变式1.一辆汽车在公路上行驶，其所走的路程和所用的时间可用下表表示：

路程s（km）

2

5

10

20

40

100

…

时间t（min）

1

2.5

5

10

20

50

…

说出自变量，因变量；

当汽车行驶路程s为20km时所花的时间t是多少分钟？

从表中说出路程s随时间t变化的趋势；

按照这一行驶规律估计当路程s=400km时，所需时间t是多少分钟？

变式2.在一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物