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关于极坐标计算二重积分
什么是极坐标?在平面内取一个定点O，引一条射线OX，这样就建立了一个极坐标系。叫做极点。叫做极轴,对于平面内任一点M,记|OM|=r,XOr?M（r，?）就叫做点M的极坐标。∠XOM=?,平面上任一点（r，?）第2页,共18页，2024年2月25日，星期天
一、极坐标与直角坐标系的关系两坐标系中变量间关系：第3页,共18页，2024年2月25日，星期天
设积分区域D为平面有界区域,并且从原点发出的射线与D的边界线交点不多于两个,则区域D被分割情形见下图.二重积分中被积函数求极坐标下的积分元素的表示方法。二、二重积分的极坐标转化及计算1、二重积分的极坐标转化第4页,共18页，2024年2月25日，星期天
图中分割的其中一小块的面积为略去高阶无穷小则有???r?r??,故d?=rdrd?.于是,二重积分第5页,共18页，2024年2月25日，星期天
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的的三种情形1、区域特征如图D：第6页,共18页，2024年2月25日，星期天
2、区域特征如图D：第7页,共18页，2024年2月25日，星期天
极坐标系下区域的面积3、区域特征如图第8页,共18页，2024年2月25日，星期天
例1将化为在极坐标系下的二次积分。1）4）2）3）第9页,共18页，2024年2月25日，星期天
1）解：在极坐标系中，闭区域D可表示为第10页,共18页，2024年2月25日，星期天
2）在极坐标系中，闭区域D可表示为第11页,共18页，2024年2月25日，星期天
3）在极坐标系中，闭区域D可表示为第12页,共18页，2024年2月25日，星期天
4）在极坐标系中，闭区域D可表示为第13页,共18页，2024年2月25日，星期天
例2求D:x2+y2?R2(R>0).解在极坐标下D:0?r?R,0???2?.利用极坐标计算二重积分第14页,共18页，2024年2月25日，星期天
例3求D:x2+y2?2ax(a>0).解积分区域D如图,在极坐标下D:0?r?2acos?,第15页,共18页，2024年2月25日，星期天
例4求(a>0).解积分区域D见图,采用极坐标计算,原式=y=xx2+y2=2ay第16页,共18页，2024年2月25日，星期天
例5求的值.解考虑区域D:0?x?+?,0?y?+?,记故第17页,共18页，2024年2月25日，星期天
感谢大家观看第18页,共18页，2024年2月25日，星期天
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