反函数、复合函数的求导法则.ppt

一、反函数的导数

二、复合函数的求导法则

基本初等函数的导数公式小结

三、求导法则小结

2反函数、复合函数的求导法则

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2021/5/91

一、反函数的导数如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j?(y)?0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且简要证明：因为y=f(x)连续，所发当Dx?0时，Dy?0。下页2021/5/92

例1．求(arcsinx)?及(arccosx)?。一、反函数的导数如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j?(y)?0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且解：因为y=arcsinx是x=siny的反函数，所以下页2021/5/93

例2．求(arctanx)?及(arccotx)?。一、反函数的导数如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j?(y)?0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且解：因为y=arctanx是x=tany的反函数，所以下页2021/5/94

(1)(C)?=0，(2)(xm)?=mxm-1，(3)(sinx)?=cosx，(4)(cosx)?=-sinx，(5)(tanx)?=sec2x，(6)(cotx)?=-csc2x，(7)(secx)?=secxtanx，(8)(cscx)?=-cscxcotx，(9)(ax)?=axlna，(10)(ex)?=ex，基本初等函数的导数公式小结：，上页2021/5/95

二、复合函数的求导法则如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复合函数y=f[j(x)]在点x0可导，且其导数为假定u=j(x)在x0的某邻域内不等于常数，则Du?0，此时有简要证明：=f?(u0)?j?(x0)。下页2021/5/96

二、复合函数的求导法则如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复合函数y=f[j(x)]在点x0可导，且其导数为如果u=j(x)在开区间Ix内可导，y=f(u)在开区间Iu内可导，且当x?Ix时，对应的u?Iu，那么复合函数y=f[j(x)]在区间Ix内可导，且下式成立：下页2021/5/97

复合函数的求导法则：解：函数y=lntanx是由y=lnu，u=tanx复合而成，下页2021/5/98

复合函数的求导法则：下页2021/5/99

复合函数的求导法则：下页2021/5/910

复合函数的求导法则：对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出中间变量。下页2021/5/911

复合函数的求导法则：下页2021/5/912

复合函数的求导法则：复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。下页2021/5/913

复合函数的求导法则：下页2021/5/914

解：y?=(sinnx)?sinnx+sinnx?(sinnx)?=ncosnx?sinnx+sinnx?n?sinn-1x?(sinx)?=ncosnx?sinnx+nsinn-1x?cosx=nsinn-1x?sin(n+1)x。复合函数的求导法则：上页2021/5/915

函数的和、差、积、商的求导法则：(1)(u?v)?=u??v?，(2)(Cu)?=Cu?(C是常数)，(3)(uv)?=u?v+uv?，复合函数的求导法则：反函数求导法：三、求导法则小结结束2021/5/916