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一个多边形的面积公式
指导老师：王柏龄。
作者：刘昱志。
一个多边形的面积公式
A.研究动机
找出顶点为格子点的多边形其面积的简单计算方式。
B.研究目的
今年大学指定科目考试数学乙有一考题：
当平面上的点(x,y)之坐标x与y都是整数时，称点(x,y)为格子点。数学家知道：坐标平面上三个顶点皆为格子点的三角形之面积可以用公式aS+bI+c来表示，其中S代表三角形三边边上的格子点数，I是落在三角形内部（不含边上）的格子点数，a,b,c是固定常数。
则：（a,b,c）=（）
本研究将找出上述之（a,b,c）并将这个公式推广到n边形。
C.研究方法
观察，计算，分割合并归纳
D.研究过程
一个顶点为格子点的多边形的面积与其内部格子点数和边上格子点数有什么关系？
a.试算:
先观察二股分别平行两坐标轴，一股为2，另一股分别为1、2、3的直角三角形。
底
1
2
3
面积（A）
1
2
3
内部的格子点（I）
0
0
1
边上的格子点（S）
4
6
6
b.长宽分别平行二轴的长方形成立:
如果长、宽分别平行二轴的长方形的长为M，宽为N，则
长方形面积A=MN
长方形边上的格子点数S=2M+2N
M长方形内部的格子点数I=（M-1）（N-1）=MN-M-N+1
M
把这些计算式合并，得到
N
N
所以长宽分别平行两轴的长方形是成立的。
c.二股分别平行二轴的直角三角形成立:
设二股分别平行二轴的直角三角形的斜边上有P点，剩下两边长分别为M和N，则
直角三角形面积
P点M
P点
M
直角三角形边上的点有
N
N
把算式综合起来，得到
因此二股分别平行二轴的直角三角形是成立的。
G1PG2
G1
P
G2
d.一个性质:
如图，G1和G2是顶点为格子点的多边形并恰好共享一边，G3是G1和G2的合并图形。
设A1是G1的面积，A2是G2的面积，A3是G3的面积，S1是G1的边上格子点数，S2是G2的边上格子点数，S3是G3的边上格子点数，I1是G1的内部格子点数，I2是G2的内部格子点数，I3是G3的内部格子点数，则
＜*＞之意义：
＜1＞若G1,G2公式成立则由＜*＞得
得并合图形G3公式成立。
＜2＞若G1,G3公式成立，则由＜*＞得
得由G3裁去G1后之图形G2公式成立。
e.只有一边平行两轴的三角形成立：
由＜2＞
成立成立
成立
成立
成立
成立
f.所有边都不平行x轴与y轴的三角形成立：
由＜2＞
成立成立成立成立
成立
成立
成立
成立
g.任意多边形成立:
由＜1＞
2
2
1
1
34
3
4
因1,2,3,4成立，故逐次合并后n边形就成立。
E.结论
顶点为格子点的多边形之面积等于，其中S为多边形边上格子点数，I为多边形内部格子点数。
F.参考书籍
93年大学指定科目考试数学乙试题。
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