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双曲线的简单几何性质
课标要求:
知道双曲线的有关性质。
学习目标:
1.通过双曲线的方程和几何图形,了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质
2.了解双曲线的渐进性,并能解决一些简单的问题。
3.进一步体会数形结合的思想。
自主学习:
问题1:类比椭圆几何性质的研究方法,如何得出双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质?
(以焦点在x轴上的双曲线为例)
1.范围
①双曲线在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内.
②怎么有双曲线方程求出它的范围?(即从代数的角度验证结论)
2.对称性
①双曲线关于------对称,关于---------对称,关于-------------对称。
②如何用定义证明双曲线的这种对称性?
B2
B2
B1
3.顶点
①指出右图中的顶点:、
②实轴:实轴长:
③虚轴:虚轴长:
4.渐近线
①两条直线:----------------叫双曲线的渐近线。
②等轴渐近线:
5.离心率
①离心率的概念:
②离心率的范围:
③离心率刻画双曲线的什么特征?
问题2:焦点在y轴上的双曲线的几何性质
问题3:等轴双曲线的离心率:
典型例题
例1:求双曲线的范围,半实轴长与半虚轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.
变式:求下列双曲线的渐近线方程,并画出图像:
例2.已知双曲线的渐近线是,并且双曲线过点,求双曲线方程.
变式:已知双曲线渐近线是,并且双曲线过点,求双曲线方程.
例3.已知双曲线的焦距为16,离心率是,求双曲线的标准方程。
例4:求下列双曲线的标准方程:
⑴与双曲线有共同渐近线,且过点;
⑵与双曲线有公共焦点,且过点
拓展提高:
已知动点M(x,y)与一个定点F(5,0)的距离和他到一条定直线L:x=的距离的比是常数,求点M的轨迹。
课堂练习:
1.下列方程中,以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是()
2.中心在原点,一个焦点为(3,0),一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是()
(A)(B)
(C) (D)
3.双曲线2kx2-ky2=1的一焦点是F(0,4),则k等于
4.求与双曲线有共同的渐近线,且一顶点为(0,9)的双曲线的方程
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