2024届明日之星高考数学精英模拟卷 【新结构版】解析版.docx

2024届明日之星高考数学精英模拟卷【新结构版】

答案以及解析

1.答案：C

解析：由题意，得，解得，所以，所以.故选C.

2.答案：D

解析：设复数，，又，可得，解得，

所以复数z的虚部为.故选D.

3.答案：C

解析：，，因为过点，所以，即.所以回归方程为.由题意得，解得.又因为，所以该设备使用年限的最大值约为10.故选C.

4.答案：C

解析：因为，所以，故①正确；因为，所以，故②错误；若a与b属于同一“家族”，则，，(其中)，故③正确；若，设，则，不妨令，，则(，)，所以a与b属于同一“家族”，故④正确.选C.

5.答案：C

解析：由题意得对任意实数a，b以及任意实数x恒成立.由已知条件及基本不等式，得，当且仅当，即，时等号成立.又，所以，则.因此实数m的取值范围是.故选C.

6.答案：D

解析：设的最小正周期为T，由图象可知，，所以，

则，于是，又的图象过点，所以，，所以，又，则，，则，由，得，则，又当时，，所以，得，则，，结合知，所以，所以.故选D.

7.答案：B

解析：如图，因为是边长为6的正三角形，则其外接圆的半径，解得，又，

设圆柱的母线长为l，则，解得，

所以圆柱的外接球的半径，

所以外接球的表面积为.故选B.

8.答案：C

解析：如图所示，

圆C的标准方程为，圆心为，半径为3，由题意可知，，，，所以，所以，所以.设，则M为AB的中点，故四边形OACB的面积，则，故，所以，所以，又因为，所以，解得，因此，.故选C.

9.答案：CD

解析：因为为第一象限角，所以，，所以，.又，所以是第二象限角，所以.因为为第三象限角，所以，，所以，，又，所以是第二象限角或第三象限角.

当是第二象限角时，，此时

；

当是第三象限角时，，此时.

10.答案：AB

解析：令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，，即，A正确；令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，，即，B正确；令，，则，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，因此当时，与的大小不能确定，C错误；当时，，，D错误.

11.答案：AD

解析：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确；设，，因为直线MN斜率必存在，设直线MN的方程为，代入得，，，，所以，解得，所以直线MN恒过定点，故B选项错误；外接圆圆心的纵坐标为，外接圆半径为，故C选项错误；

因为，所以直线MN过焦点F，且，设直线MN的倾斜角为，由抛物线性质知MN的斜率为互为相反数的两个值，如图，过M，N分别向准线作垂线MA，NB，过N向MA作垂线NC，设，则，，，，，，，故D选项正确.故选AD.

12.答案：256

解析：的展开式的通项为，所以，，，，，

则，

令，得.

13.答案：

解析：由，得A为线段的中点，且点P在椭圆外，所以，

则，又，所以为线段的中点，所以，

设，则，又，所以，

由椭圆的定义可知：，得，

如图，延长交椭圆C于点Q，连接，则由椭圆的对称性可知，

，又，故，由余弦定理可得：，在中，，由余弦定理可得，即，所以椭圆C的离心率为.故答案为：.

14.答案：

解析：由，得，

所以.设，

则.

设，则，

令，解得，即在上单调递增，

令，解得，即在上单调递减，

又，，，

所以当时，，即，所以.

当，2时，，即，所以.综上，，

所以，即，所以的取值范围为.

15.答案：（1）见解析

（2）证明见解析

解析：（1）由，得，

①当时，，在R上单调递减；

②当时，令，得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

（2）证明：由（1）知，当时，，

要证当时，，可证，

因为，即证.

设，则，

令，则，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，所以，即，

所以当时，.

16.答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）证明：在中，，E为AC的中点，

.

在与中，

，，，

，，

又E为AC的中点，，

又，，平面，平面BED，

又平面ACD，

平面平面.

（2）由（1）知是等腰三角形，又，

为等边三角形，，，

在等腰中，，又，，

以E为原点，EA，EB，ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接EF，

则，，，，

，，

设平面ABD的法向量为，

则令，得，

易知的面积最小时，，

在中，由知，

，，

，，

，易得，

设CF与平面ABD所成的角为，

则，

与平面ABD所成的角的正弦值为.

17.答案：（1）

（2）存在满足条件的定点

解析：（1）双曲线C的渐近线方程为，

圆F与直线切于点，所以代入得，①

设，直线FQ有斜率，则，即，②

又，③

由①②③解得，，，

所以双曲线C的方程为.

（2）假设存在满足条件的定点，因为直线l不与坐标轴垂直，

故设l的方程为，，.

由消去x整理得，

则即，

且，

因为，所以直线，的斜率为，.

设（为定值），即，

即，

即，

整理得，

所以，

所