甘肃省张掖市某校2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试题.docx

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题共60分）

一?选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（）

A.-4B.4C.D.

2.已知，则（）

A.B.C.D.

3.欧拉公式（其中是虚数单位，是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.已知复数在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（）

A.-1B.0C.1D.2

5.已知复数，则（）

A.9B.6C.3D.

6.在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是，则第4个顶点对应的复数为（）

A.B.C.D.

7.若复数满足，则的最大值为（）

A.1B.C.2D.3

8.不等式的解集是（）

A.B.C.D.

9.已知参数方程为参数，，则下列选项的图中，符合该方程的是（）

A.B.

C.D.

10.已知复数，则下列结论错误的是（）

A.若，则

B.若是虚数，则

C.不可能是纯虚数

D.可表示复平面内的点

11.已知，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：

甲；

乙

丙

丁.

如果只有一个假命题，则该命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

第II卷（非选择题共90分）

二?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若复数同时满足①；②，则__________.

14.曲线经过变换得到曲线，则曲线的方程为__________.

15.已知复数，则的虚部为__________.

16.若对于任意，都存在，使，则实数的取值范围是__________.

三?解答题：共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知函数.

（1）在图中画出的图象；

（2）求不等式的解集.

18.（12分）

在直角坐标系中，圆的圆心为，半径为，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求的极坐标方程；

（2）若与在第一象限的交点为，且射线的极坐标方程为，求实数的值.

19.（12分）

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求实数的取值范围.

20.（12分）

如图，在极坐标系中，方程表示的曲线是一条优美的心脏线.在以极轴所在直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数，且.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）当时，与交于点，将射线绕极点按顺时针方向旋转，交于点，求的值.

21.（12分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

（2）点分别为曲线与直线上的动点，求的最小值.

22.（12分）

已知为正数，且.证明：

（1）；

（2）.

参考答案

一?选择题

1.A【解析】.

2.C【解析】设，则，因为，所以，所以解得所以.

3.A【解析】由欧拉公式，得在复平面内对应的点在第一象限.

4.C【解析】因为，所以当复数在复平面内对应的点在虚轴上时，且，解得.

5.D【解析】由，得.

6.B【解析】复数所对应的点分别是，2），，由题意可知，正方形以为邻边，设另一点为，所以，则即解得所以.

7.C【解析】设在复平面内对应的点的坐标为，则，它表示以为圆心，1为半径的圆，所以的最大值为2.

8.C【解析】当，即或时，不等式等价于不等式，即，解得，所以；当，即时，不等式等价于不等式，即，解得或，所以.

综上，不等式的解集是.

9.B【解析】由题意，参数方程为参数，，当时，可得，所以图象过原点，排除；当时，可得，所以图象过点，可排除和；当时，可得，解得，从而得到，所以选项B适合.

10.D【解析】若，则，所以，解得或.当时，，当时，，故选项正确；若是虚数，则，即且，所以，故选项B正确；若表示纯虚数，则无解，故选项C正确；若在复平面内对应的点为，则，无解，故选项D错误.

11.B【解析】，因为，所以，故后者能推出前者；反之，比如，推不出后者，故为必要不充分条件.

12.