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广东省实验中学2023届高三下期末质量检查数学试题理试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数的图像向右平移个单位长度后,得到的图像关于轴对称,,当取得最小值时,函数的解析式为()
A. B.
C. D.
2.过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线,若与轴的交点坐标为,则该双曲线的标准方程可能为()
A. B. C. D.
3.已知满足,则()
A. B. C. D.
4.已知定点,,是圆上的任意一点,点关于点的对称点为,线段的垂直平分线与直线相交于点,则点的轨迹是()
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
5.已知、分别是双曲线的左、右焦点,过作双曲线的一条渐近线的垂线,分别交两条渐近线于点、,过点作轴的垂线,垂足恰为,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
6.要得到函数的图象,只需将函数图象上所有点的横坐标()
A.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度
B.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位长度
C.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度
D.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度
7.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成的角的正弦值为().
A. B. C. D.
8.已知集合,,则()
A. B.
C.或 D.
9.在四面体中,为正三角形,边长为6,,,,则四面体的体积为()
A. B. C.24 D.
10.已知直线:过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行,则双曲线的方程为()
A. B. C. D.
11.在平面直角坐标系中,将点绕原点逆时针旋转到点,设直线与轴正半轴所成的最小正角为,则等于()
A. B. C. D.
12.在等差数列中,若为前项和,,则的值是()
A.156 B.124 C.136 D.180
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在中,角所对的边分别为,为的面积,若,,则的形状为__________,的大小为__________.
14.各项均为正数的等比数列中,为其前项和,若,且,则公比的值为_____.
15.如果函数(,且,)在区间上单调递减,那么的最大值为__________.
16.若函数在区间上恰有4个不同的零点,则正数的取值范围是______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知曲线:和:(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.
(1)求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程;
(2)设与,轴交于,两点,且线段的中点为.若射线与,交于,两点,求,两点间的距离.
18.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,已知.
(1)若,,成等差数列,求的值;
(2)是否存在满足为直角?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
19.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点在曲线上,点在曲线上,且为正三角形.
(1)求点,的极坐标;
(2)若点为曲线上的动点,为线段的中点,求的最大值.
20.(12分)已知,,分别是三个内角,,的对边,.
(1)求;
(2)若,,求,.
21.(12分)已知函数
(1)解不等式;
(2)若函数,若对于任意的,都存在,使得成立,求实数的取值范围.
22.(10分)数列满足,且.
(1)证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先求出平移后的函数解析式,结合图像的对称性和得到A和.
【详解】
因为关于轴对称,所以,所以,的最小值是.,则,所以.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.
2、A
【解析】
直线的方程为,令,得,得到a,b的关系,结合选项求解即可
【详解】
直线的方程为,令,得.因为,所以,只有选项满足条件.
故选:A
【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程,考查运算求解能力.
3、A
【解析】
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