备战2024年高考数学第一轮题型归纳与解题 考点03 等式与不等式的性质6种常见考法归类（原卷版+解析）.docxVIP

考点03等式与不等式的性质6种常见考法归类

考点一比较两个数(式)的大小

考点二不等式的性质及应用

考点三求代数式的取值范围

考点四不等式的证明

考点五不等式的实际应用

考点六不等式的综合问题

1、比较两数(式)大小的方法

作差法

作商法

原理

设a，b∈R，则

a－b0?ab；a－b＝0?a＝b；a－b0?ab

设a0，b0，

则eq\f(a,b)1?ab；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)1?ab

（若，则；；.）

步骤

作差并变形（配方、因式分解、通分等）?判断差与0的大小?得结论

作商并变形（配方、因式分解、通分等）?判断商与1的大小?得结论（如果两个数都是正数，一般用作商法，其它一般用作差法.）

注意

利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形

作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等

注：比较两式大小还可用函数的单调性法

将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．

2、不等式的基本性质

性质

性质内容

对称性

传递性

可加性

可乘性

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方性

3、分数性质

若ab0，m0，则

(1)真分数性质：eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)eq\f(b－m,a－m)(b－m0).

(2)假分数性质：eq\f(a,b)eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)eq\f(a－m,b－m)(b－m0).

其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(浓度变大)；糖水析出糖后，糖水变淡(浓度变小).”

4、利用不等式的性质判断正误的2种方法

利用不等式性质进行命题的判断时，判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断(判断成立时)或反例说明(判断不成立时)，在实际考查中，多与一些常见函数单调性结合考查.

(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；

(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．

5、利用待定系数法求代数式的取值范围

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.

已知M1f1(a，b)N1，M2f2(a，b)N2，求g(a，b)的取值范围．

(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；

(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；

(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．不可忽略a，b的制约关系，而单独求出a，b的范围，再求g(a，b).

考点一比较两个数(式)的大小

1．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知，则（????）

A． B．

C． D．与的大小无法判断

2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（????）

A． B． C． D．

3．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；

（2）设x，，比较与的大小.

5．【多选】（2023·湖南永州·统考三模）已知，下列命题为真命题的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

6．（2023·全国·高三专题练习）已知，则正数的大小关系为（????）

A． B．

C． D．

7．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（????）

A． B． C． D．

8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（????）

A． B．

C． D．

9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（????）

A． B．

C． D．

考点二不等式的性质及应用

10．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（????）

A． B． C． D．

11．（2023·全国·高三专题练习）设，则使成立的一个充分不必要条件是（???）

A． B． C． D．

12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（）

A． B．

C． D．

13．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等式恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

14．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知实数，则下列不等式正确的是（????）

A． B． C． D．