第一章-数值计算中的误差分析.ppt

**第一章数值计算中的误差分析§1.1数值计算的误差§1.2误差定性分析与避免误差危害§1.1数值计算的误差1、误差的种类及来源模型误差例如：用来描述自由落体时的距离和时间的关系。设自由落体在时间t的实际下落距离为st，则把st－s(t)叫做“模型误差”。观测误差截断误差（也称方法误差）例如：Taylor展开舍入误差注意：由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差对数值计算也造成影响，分析初始数据的误差，通常也归结为舍入误差。例如：（0.345)D≈(0.01011)B过失误差小结：数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考虑和分析的就是截断误差和舍入误差。1.04×21.52×20.76×21.38×20.690×20.345舍去定义12、误差的概念设x为准确值，x*为x的一个近似值，记称为近似值x*的绝对误差，简称误差。绝对误差限或误差限,e(x*)e(x*)或显然且哪个更精确呢?定义2.relativeerror绝对误差限相对误差限往往未知代替相对误差代替相对误差限因此例1.解:|e*|例2.解:可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位3、有效数字设准确值x的近似值其中，每个xi(i=1,2,…,n)是0到9中的一个数字，x1≠0,k为整数。如果x*的误差限不超过末位的半个单位，即则称用x*近似x时具有n位有效数字。注：有效数字的概念是按四舍五入规则得到的近似值，其每一位都是有效的。例如，8.0033的具有三位有效数字的近似值为8.00。定义34、有效数字与相对误差限的关系定理1.设近似值x*表示为（1）其中，每个xi(i=1,2,…,n)是0到9中的一个数字，x1≠0,m为整数。若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为反之，若x*的相对误差限，则x*至少具有n位有效数字。证明：由（1）可得定理说明，有效数字位数越多，相对误差限越小。当x*有n位有效数字时，反之，由证毕。例3、要使的近似值的相对误差限小于0.1%，至少要取几位有效数字？解：设要n位有效数字，根据定理1，由于知，x1=1,于是故n＝4.即只要对的近似值取4位有效数字，其相对误差限就小于0.1%.此时5、数值运算的误差估计定理2.设x和y是精确解，a和b是相应的近似值，绝对误差限分别为与，则（自己验证）更一般的情况假定f’(x*)与f’’(x*)的比值不太大，可忽略高阶项，于是计算函数的误差限对一元函数的计算：设x*是x的近似值。如果f(x)可微，有ξ介于x与x*之间，取绝对值得：于是误差限相对误差限§1.2误差定性分析与避免误差危害1、算法的数值稳定性例4、计算，解：由分部积分可得计算的递推公式且由积分估值得可设计如下两种算法：算法Ⅰ：取，按公式依次计算出的近似值。算法Ⅱ：取，按公式依次计算出的近似值。分别取