小学奥数之容斥原理.docx

仅供个人参考

仅供个人参考

不得用于商业用途

不得用于商业用途

容斥原理（一）

【例题分析】

例1.有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？

???分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积是：

???（平方厘米）

???方法一：

???方法二：

???方法三：

（平方厘米）

（平方厘米）

（平方厘米）

???答：盖住桌面的面积是67平方厘米。

例2.六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有

17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？

???分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。

???也可以这样解： （人）

???或 （人）

???答：两组都参加的有5人。

例3.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既

会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？

???分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。

???

???

（人）（人）

???答：既不会骑车又不会游泳的有9人。

例4.某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20

人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小

组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组

的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？

??分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。

???（人）

??答：这个年级参加课外小组的有60人。

例5.某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。

短跑

投掷

跳远

跑跳

跑投

跳投

三项

19

21

20

9

10

6

3

???分析与解：根据题意画出如下图

???要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数，加上三项都未达到优秀的，就是全班人数。

???（人）

???（人）

???答：全班有42人。

例6.分母是105的最简真分数有多少个？

???分析与解：这些分数是最简真分数，所以分子应小于105，只能是1—104中的自然数，而且分子与105要互质。因为，所以分母不能是3

的倍数或5的倍数或7的倍数。所以，要求有多少个最简真分数，实际上就是求

1—104这104个自然数中不能被3、5、7整除的数有多少个。因此要先求出能

被3整除或能被5整除或能被7整除的数有多少个。

???能被3整除的数：

???能被5整除的数：

???能被7整除的数：

（个）

（个）

（个）

???能同时被3和5整除的数：

???能同时被3和7整除的数：

???能同时被5和7整除的数：

???（个）

???（个）

???答：分母是105的最简真分数有48个。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积？

某区有100名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有75名，既懂英语又懂日语的有20人。只懂日语的有多少名？

某班数学测验时有10人得优，英语得优有12人，两门都得优有3人，两门都没得优的有26人。全班有多少人？

六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人？

在1至100的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少个？

容斥原理（二）

【例题分析】

例1.有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一

次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，

三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？

???分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。

???（人）

???答：只有两次达到优秀的有11人。

例2.