专题32 二次函数与旋转问题-2024年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版）[001].docxVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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专注：心无旁骛，万事可破

专题32二次函数与旋转问题

1．（2024—2022辽宁千山九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和，交y轴于点，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将线段绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，求的最小值；

（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，N的横坐标为，，，2．

【分析】

（1）根据待定系数法即可求出解析式；

（2）先取OE的三等分点D，得出DE=AE，当B，E，D三点共线时即为最小值；

（3）先设出点N的坐标，根据矩形的性质列出关于N点坐标的方程组，即可求出N点的坐标．

【详解】

解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c中，

得：，

∴b=-2，c=3，

∴y=-x2-2x+3，

（2）在OE上取一点D，使得OD=OE，

连接DE，BD，

∵OD＝OE＝OE′，对称轴x=-1，

∴E（-1，0），OE=1，

∴OE=OE=1，OA=3，

∴，

又∵∠DOE=∠EOA，

△DOE∽△EOA，

∴DE′＝AE′，

∴BE′+AE′＝BE′+DE′，

当B，E，D三点共线时，BE′+DE′最小为BD，

，

∴BE′+AE′的最小值为；

（3）存在，

∵A（-3，0），B（0，3），

设N（n，-n2-2n+3），

则AB2=18，AN2=（n2+2n-3）2+（n+3）2，BN2=n2+（n2+2n）2，

∵以点A，B，M，N为顶点构成的四边形是矩形，

∴△ABN是直角三角形，

若AB是斜边，则AB2=AN2+BN2，

即18=（n2+2n-3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，

解得：，

∴N的横坐标为或，

若AN是斜边，则AN2=AB2+BN2，

即（n2+2n-3）2+（n+3）2=18+n2+（n2+2n）2，

解得n=0（与点B重合，舍去）或n=-1，

∴N的横坐标是-1，

若BN是斜边，则BN2=AB2+AN2，

即n2+（n2+2n）2=18+（n2+2n-3）2+（n+3）2，

解得n=-3（与点B重合，舍去）或n=2，

∴N的横坐标为2，

综上N的横坐标为，，-1，2．

【点睛】

本题主要考查二次函数的综合应用，求解析式常用的是待定系数法，一般都是第一问，也是后面内容的基础，必须掌握且不能出错，否则后面的两问没法做，对于相似三角形，要牢记它的判定与性质，考试中一般都是先判定，在用性质．

2．（2024—2022辽宁连山九年级期中）如图，在半面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，其中点A的坐标为，与y轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为抛物线上上方的一个动点，过点D作轴，交于点E，过D作，交直线于点F，以、为边作矩形，设矩形的周长为l，求l的最大值；

（3）点P是x轴上一动点，将线段绕点P旋转得到，当点Q刚好落在抛物线上时，请直接写出点Q的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）l的最大值为12；（3），，，

【分析】

（1）将代入求解即可得出答案；

（2）由待定系数法求出直线解析式，设点D的横坐标为t，即可表示出D、E、F三点坐标，即可表示出矩形长宽，可表示矩形周长，即可求出最值；

（3）分两种情况：当逆时针旋转落在抛物线上和顺时针旋转落在抛物线上，求出点所在直线，与二次函数联立即可求出的坐标．

【详解】

（1）将代入得：

，

解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）设直线解析式为，

将代入得：，

∴直线解析式为，

设点D的横坐标为t，

则有，，

∵，∴轴，∴轴，

∴D，F的纵坐标相同，

∴，

∴，，

∴矩形的周长为，

∴当时，l的最大值为12；

（3）当逆时针旋转落在抛物线上时，如下图：

设，，

，

，即在上，

，

解得：或，

，，

当顺时针旋转落在抛物线上时，如下图：

，

，即在上，

，

解得：或，

，．

【点睛】

本题考查二次函数的综合应用，掌握用待定系数法求函数解析式以及矩形的性质是解题的关键．

3．（2024—2022湖南长沙市九年级阶段练习）如图1，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．

（1）求点A，B的坐标；

（2）若tan∠BCO＝2，点P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，作PQ⊥x轴于点Q，连接PA