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第1章概率论与数理统计的基本概念

1.1考点归纳

一、随机事件及其运算

1．事件间的关系

（1）包含关系

如果属于A的样本点必属于B，则称A被包含在B中（见图1-1），或称B包含A，记为AB，或BA。用概率论的语言说：事件A发生必然导致事件B发生。

对任一事件A，必有AΩ。

图1-1AB

（2）相等关系

如果事件A与事件B满足：属于A的样本点必属于B,而且属于B的样本点必属于A，即AB且BA，则称事件A与B相等，记为A＝B．

（3）互不相容

如果A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容．用概率论的语言说：A与B互不相容就是事件A与事件B不可能同时发生．

2．事件间的运算

（1）和事件

事件A∪B＝{x|x∈A或x∈B）称为事件A与事件B的和事件．当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件AB发生．

称为n个事件A1，A2，…，An的和事件；称为可列个事件A1，A2，…的和事件．

（2）积事件

事件A∩B＝{x|x∈A且x∈B）称为事件A与事件B的积事件．当且仅当A，B同时发生时，事件A∩B发生.A∩B也记作AB．

称为n个事件A1，A2，…，An的积事件；称为可列个事件A1，A2，…的积事件．

（3）差事件

事件A-B＝{x|x∈A且xB）称为事件A与事件B的差事件．当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生．

（4）互斥事件

若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的．即事件A与事件B不能同时发生．基本事件是两两互不相容的．

（5）逆事件

若A∪B＝S且，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件．对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生．A的对立事件记为．

3．事件的运算性质

设A，B，C为事件，则有：

（1）交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；

（2）结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；

（3）分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）．

（4）对偶律（德摩根公式）

事件并的对立等于对立的交：

事件交的对立等于对立的并：

二、频率与概率

1．频率

（1）定义

在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率，并记成．

（2）频率的基本性质

①；

②；

③若A1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件，则

2．概率

（1）定义

设E是随机试验，S是它的样本空间．对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率，如果集合函数P（A）满足下列条件：

①非负性：对于每一个事件A，有P（A）≥0；

②规范性：对于必然事件S，有P（S）＝1；

③可列可加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于，i≠j，i，j＝1，2，…，有P（A1∪A2∪…）＝P（A1）＋P（A2）＋…

（2）概率的性质

①

②（有限可加性）若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有：

P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）

③设A，B是两个事件，若，则有：

P（B-A）＝P（B）-P（A）与P（B）≥P（A）

④对于任一事件A，P（A）≤1；

⑤（逆事件的概率）对于任一事件A，有；

⑥（加法公式）对于任意两事件A，B有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；

一般，对于任意n个事件A1，A2，…，An，可以用归纳法证得：

三、等可能概型（古典概型）

1．定义

如果一个随机试验具有以下两个特点：

（1）试验的样本空间只包含有限个元素；

（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同.

则这种试验称为等可能概型．

2．等可能概型的计算方法

若事件A包含k个基本事件，即A＝，这里，是1，2，…，n中某k个不同的数，则有

四、条件概率

1．条件概率

（1）定义

设A，B是两个事件，且P（A）＞0，称

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．

（2）条件概率的性质

①非负性：对于每一事件B，有P（B|A）≥0；

②规范性：对于必然事件S，有P（S|A）＝1；

③可列可加性：设B1，B2，…是两两互不相容的事件，则有

注：所有概率的性质都适用于条件概率．

2．乘法定理

（1）设P（A）＞0，则有P（AB）＝P（B|A）P（A），上式也称为乘法公式．

（2）一般，设A1，A2，…，An为n个事件，n≥2，且，则有

3．全概率公式和贝叶斯公式

（1）样本空间划分的定义

设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件．若

①，i＝j，i，j＝l，2，…，n；

②B1∪B2∪…∪Bn＝S；

则称B1，B2，…，Bn为样本空间S的一个划分．

若B1，B2，…，Bn是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件B1，B2，…，Bn中