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恒成立问题

一、参变分离主讲：邓丁瑞

1.分参之后最值易求

已知lnx-ax-1≤0对任意的x>0恒成立，求实数a的取值

范围

1

答案：a≥2

e

2.分参之后求最值需要多次求导

2

x-xm+x

已知e+e≤2e对任意实数x恒成立，求实数m的取值

范围

答案：m≥0

3.分参之后最值求不出来，需要隐零点代换卡范围

1+lnx+1k

若>对任意x>0恒成立，求整数k的最大

xx+1

值

答案：整数k的最大值为3

二、带参讨论1

4.若alnx+-1≥0对任意x>0恒成立，求实数a的取值范

x

围

答案：a=1

x

5.若e-1-asinx≥0对任意0≤x≤π恒成立，求实数a的

取值范围

答案：a≤1

x2

6.若e-1-x-ax≥0对任意x≥0恒成立，求实数a的取值

范围

1

答案：a≤

2

7.既可以带参讨论，也可以参变分离

2

已知lnx+ax-x≤0对任意x>0恒成立，求实数a的取值范

围

答案：a≤1

sinxπ

8.若ax-2+sinx<0对任意0<x<恒成立，求实数

cosx2

a的取值范围

答案：a≤0

三、对数单身狗，指数找朋友

9.此题不能用端点效应

x213

若e+ax-x≥x+1对任意x≥0恒成立，求实数a的取

2

值范围

7-e2

答案：a≥

4

10.若x+1lnx-ax-1>0对任意x>1恒成立，求实数a

的取值范围

答案：a≤2

四、必要性探路

x-1

11.若e-ax+1+lnx≥0对任意x≥1恒成立，求实数a的

取值范围

答案：a≤2

x-1

12.若ae-lnx+lna≥1对任意x>0恒成立，求实数a的取

值范围

答案：a≥1

五、极值点的定义

x

13.若e+sinx+cosx≥2+ax对任意实数x恒成立，求实数

a的取值范围

答案：a=2

六、端点效应x

14.若e+mx+sinx≥1对任意x≥0恒成立，求实数m的取

值范围

答案：m≥-2

15.若ax2+cosx-sinx>0对任意x>0恒成立，求实数a

的取值范围

1

答案：a≥

3

22

16.若x+1lnx+1-x≥mx对任意x≥0恒成立，求实数



m的取值范围

3

答案：m≤

2

1-x2

17.若e-2-a+1+2ax-ax≥0对任意x≤1恒成立，

求实数a