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2023年高考数学模拟试卷
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点,使,且,则双曲线的离心率为()
A. B.2 C. D.
2.复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点在()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.为计算,设计了如图所示的程序框图,则空白框中应填入()
A. B. C. D.
4.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示,图中网格是边长为1的正方形,粗线部分是某二十四等边体的三视图,则该几何体的体积为()
A. B. C. D.
5.已知向量,,若,则与夹角的余弦值为()
A. B. C. D.
6.集合,则集合的真子集的个数是
A.1个 B.3个 C.4个 D.7个
7.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在(单位:元)的同学有34人,则的值为()
A.100 B.1000 C.90 D.90
8.已知函数,其中,,其图象关于直线对称,对满足的,,有,将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则函数的单调递减区间是()
A. B.
C. D.
9.设,是非零向量,若对于任意的,都有成立,则
A. B. C. D.
10.在等腰直角三角形中,,为的中点,将它沿翻折,使点与点间的距离为,此时四面体的外接球的表面积为().
A. B. C. D.
11.设过定点的直线与椭圆:交于不同的两点,,若原点在以为直径的圆的外部,则直线的斜率的取值范围为()
A. B.
C. D.
12.过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点,,若,则的最小值是()
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知点是抛物线的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为______.
14.曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为________.
15.已知在等差数列中,,,前n项和为,则________.
16.若在上单调递减,则的取值范围是_______
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在四棱柱中,平面,底面ABCD满足∥BC,且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
18.(12分)过点P(-4,0)的动直线l与抛物线相交于D、E两点,已知当l的斜率为时,.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.
19.(12分)已知函数.
(1)若函数在上单调递减,求实数的取值范围;
(2)若,求的最大值.
20.(12分)已知在四棱锥中,平面,,在四边形中,,,,为的中点,连接,为的中点,连接.
(1)求证:.
(2)求二面角的余弦值.
21.(12分)已知等腰梯形中(如图1),,,为线段的中点,、为线段上的点,,现将四边形沿折起(如图2)
(1)求证:平面;
(2)在图2中,若,求直线与平面所成角的正弦值.
22.(10分)已知椭圆:,不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于,两点.
(Ⅰ)若线段的中点坐标为,求直线的方程;
(Ⅱ)若直线过点,点满足(,分别为直线,的斜率),求的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由及双曲线定义得和(用表示),然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率.
【详解】
由题意∵,∴由双曲线定义得,从而得,,
在中,由余弦定理得,化简得.
故选:A.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率
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