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动力学临界问题的类型和处理技巧

湖北省恩施高中 陈恩谱

一、动力学临界问题的产生——供需匹配问题

牛顿第二定律?F?ma，等式的左边是其他物体提供给物体的力（供），右边是物体以加速度a运动时所需要的力（需），因此?F?ma实际上是供需匹配的方程。

当某些外界条件变化时，a可能变化，因此物体所需要的力可能发生变化，这就存在供需匹配问题。动力学临界问题，本质上讲，就是供需匹配问题：

①供需相匹配（等号成立），则可维持两物体间的某种关联（如相对静止、接触、距离不变等）；

②若供需不匹配（等号不成立），则两物体间的该种关联被破坏（如两物体相对滑动、分离、距离增大或者减小等）。

其他物体提供的力可以在一定范围内变化；若所需要的力在该范围内，则能够维持物体间的某种关联，若所需要的力超出该范围，则物体间的该种关联被破坏。

二、动力学临界问题的类型

依据其他物体提供给物体的力的特点，可将动力学临界问题分为两大类型：供可变型和供不可变型。

1、供可变型

其他物体提供的力可以在一定范围内变化；若所需要的力在该范围内，则能够维持物体间的某种关联，若所需要的力超出该范围，则物体间的该种关联被破坏。

具有这种特点的力，主要是两大类：静摩擦力和弹力。具体分析如下：

静摩擦力：-F

≤F≤F ，F

??F

fm f fm fm 0 N

若：所需F≤F

f

若：所需F＞F

f

，则两物体相对静止，

fm

，则两物体相对滑动。

fm

（2）弹力：F≥0，0≤F≤F

N T Tm

①支持力/压力F

N

：所需F

N

≥0，则两物体相互接触，

所需F

N

＜0，则两物体相互分离。

②绳中张力F

：所需F

T T

满足0≤F≤F

T

，则绳子绷直，两物体维持某间距，

Tm

所需F

＜0，则绳子松弛，两物体间距减小，靠近，

T

2、供不可变型

所需F

，则绳子绷断，两物体间距增大，分开。

FT Tm

F

特定位置处，其他物体提供的力是一个确定的值；若需要的力等于该值，则能够维持物体间的相对位置，若需要的力不等于该值，则两物体接近或者远离。

具有这种特点的力有万有引力、库仑力、弹簧弹力等。其中万有引力作用下人造卫星的变轨问题就属于这类问题的典型，下文重点是供可变型，所以将此问题的处理方法单独在此处说明，下文不再赘述。

如右图所示，人造卫星在离地心r处的A点以某速度v发射，若发射速度合适（为

A

GMrv）

GM

r

则卫星就能在该轨道上做圆周运动，有即有：

GMm

r2

?mv2

r

，解得v? 。

若：v

?v? ，所需要的向心力mvA

?GMm

，供求平衡，卫星将做圆周运动，

GMr2A r r2

GM

r

2

若：v

2

GMrv?v? ，所需要的向心力m A

GM

r

v

?GMm

，供不应求，卫星将做离心运动，

A r r2

若：v

2

GMrv?v? ，所需要的向心力m A

GM

r

v

?GMm

，供过于求，卫星将做近心运动。

A r r2

三、动力学临界问题的处理方法

动力学临界问题的处理方法有如下三种：

1、“极端分析+受力转变条件”法：

第一步：极端分析法——找到临界点

第二步：分析临界条件——受力转变条件

如：F=F ，F=0，F

=0，F=F

f fm N

2、“假设相对静止+受力变化范围”法

T T Tm

第一步：假设法——假设物体间的该关联正常

第二步：动力学方程（或平衡方程）+受力范围条件

如：-F

≤F≤F

，F≥0，0≤F≤F

3、“假设相对滑动+运动关系条件”法

fm f

fm N

T Tm

第一步：假设法——假设物体间的该关联被破坏第二步：动力学方程（或平衡方程）+运动关系条件

如：加速度关系、曲率半径关系、角度关系

具体请参看下述例题和解析。

【例1】如图所示，质量M=8kg小车放在光滑的水平面上，在小车上面静止放置一质量m=2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2。现在小车右端施加一水平拉力F，要将小车从物块下方拉出.则拉力F至少应为多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2.

【思维导引】本题是动力学临界问题中两大类型之一——静摩擦力类临界问题的基本例题。很多学生在解决这类问题时，把小物块视作始终处于静止状态，然后对小车分析得出拉力超过小物块对小车的摩擦力就可以将小车拉出——其实，原来没能将小车拉出时，小物块就与小车相对静止具有共同加速度，而能够将小车拉出来的情况下，小物块也因水平方向受到小车摩擦力而在向右加速运动。在明白这点的基础上，才可能进行正确的分