7.2 离散型随机变量及其分布列.docx

第七章随机变量及其分布

7.2离散型随机变量及其分布列

例1一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义求X的分布列.

解：根据X的定义，“抽到次品”，“抽到正品”，X的分布列为

，.

对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义

如果，则，那么X的分布列如表7.2-3所示.

表7.2-3

X

0

1

P

p

例2某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表7.2-4所示.

表7.2-4

等级

不及格

及格

中等

良

优

分数

1

2

3

4

5

人数

20

50

60

40

30

从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及.

解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且“不及格”，“及格”，“中等”，“良”，“优”.根据古典概型的知识，可得X的分布列，如表7.2-5所示.

表7.2-5

X

1

2

3

4

5

P

.

例3一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.

解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2，根据古典概型的知识，可得X的分布列为

，，.

用表格表示X的分布列，如表7.2-6所示.

表7.2-6

X

0

1

2

P

练习

1.举出两个离散型随机变量的例子．

【答案】例子见解析；

【解析】

【分析】根据离散型随机变量的定义可得结论.

【详解】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的次数；

（2）某公共汽车站1分钟内等车的人数；

2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．

（1）抛掷2枚骰子，所得点数之和；

（2）某足球队在5次点球中射进的球数；

（3）任意抽取一瓶标有1500mL的饮料，其实际含量与规定含量之差．

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)抛掷两枚骰子，所得点数之和，能用离散型随机变量表示，利用列举法能求出个随机变量可能的取值和这些值所表示的随机试验的结果.

(2)某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，利用列举法能求出个随机变量可能的取值和这些值所表示的随机试验的结果.

(3)任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量表示.

【详解】(1)抛掷两枚骰子所得点数之和，能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.

2表示抛掷两枚骰子得到的结果为11；

3表示抛掷两枚骰子得到的结果为12；21；

4表示抛掷两枚骰子得到的结果为13；22；31；

5表示抛掷两枚骰子得到的结果为14；23；32；41；

6表示抛掷两枚骰子得到的结果为15；51；24；42；33；

7表示抛掷两枚骰子得到的结果为16；61；25；52；34；43；

8表示抛掷两枚骰子得到的结果为26；62；35；53；44；

9表示抛掷两枚骰子得到的结果为36；63；45；54；

10表示抛掷两枚骰子得到的结果为46；64；55；

11表示抛掷两枚骰子得到的结果为56；65；

12表示抛掷两枚骰子得到的结果为66.

(2)某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为0，1，2，3，4，5

0表示5次点球中射进0球；

1表示5次点球中射进1球；

2表示5次点球中射进2球；

3表示5次点球中射进3球；

4表示5次点球中射进4球；

5表示5次点球中射进5球.

(3)任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量表示.

3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列．

【答案】见解析

【解析】

【详解】试题分析：先确定随机变量可能取法，再分别求对应概率，最后列表可得分布列，也可根据二点分布直接得分布列

试题解析：解设此运动员罚球1次的得分为ξ，则ξ的分布列为

ξ

0

1

P

0.3

0.7

(注：ξ服从二点分布)

点睛：(1)先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊分布；

(2)可以根据特殊分布的概率公式列出分布列，根据计算公式计算出均值和方差；也可以直接应用离散型随机变量服从特殊分布时的均值与方差公式来计算；若X＝aξ＋b不服从特殊分布，但ξ服从特殊分布，可利用有关性质公式及E(ξ)，D(ξ)求均值和方差．

4.抛掷一枚质地均匀的硬