微专题14　空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法).docx

微专题14空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法)

高考定位1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属基础题；2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问.

1.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()

A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD

C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D

答案A

解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，

又EF?平面ABCD，

所以EF⊥DD1，

因为E，F分别为AB，BC的中点，

所以EF∥AC，所以EF⊥BD，

又BD∩DD1＝D，

所以EF⊥平面BDD1，

又EF?平面B1EF，

所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，

设AB＝2，

则D(0，0，0)，

B1(2，2，2)，

E(2，1，0)，F(1，2，0)，

B(2，2，0)，A1(2，0，2)，

A(2，0，0)，C(0，2，0)，

C1(0，2，2)，

则eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq\o(EB1,\s\up6(→))＝(0，1，2)，

eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2，0，2)，

eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)，

eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－2，2，0).

设平面B1EF的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(EF,\s\up6(→))＝－x1＋y1＝0，,m·\o(EB1,\s\up6(→))＝y1＋2z1＝0，))

可取m＝(2，2，－1)，

同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，

平面A1AC的一个法向量为n2＝(1，1，0)，

平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1，1，－1)，

则m·n1＝2－2＋1＝1≠0，

所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；

因为m与n2不平行，

所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；

因为m与n3不平行，

所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，

故D错误.

2.(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则()

A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD

B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1

C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD

D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1

答案A

解析法一连接AD1(图略)，则易得点M在AD1上，且M为AD1的中点，AD1⊥A1D.

因为AB⊥平面AA1D1D，A1D?平面AA1D1D，

所以AB⊥A1D，

又AB∩AD1＝A，AB，AD1?平面ABD1，

所以A1D⊥平面ABD1，

又BD1?平面ABD1，显然A1D与BD1异面，所以A1D与BD1异面且垂直.

在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB，

又MN?平面ABCD，AB?平面ABCD，

所以MN∥平面ABCD.

易知直线AB与平面BB1D1D成45°角，

所以MN与平面BB1D1D不垂直.

所以选项A正确.故选A.

法二以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略).

设AB＝2，则A1(2，0，2)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，

所以M(1，0，1)，N(1，1，1)，

所以eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－2，0，－2)，eq\o(D1B,\s\up6(→))＝(2，2，－2)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(0，1，0)，

所以eq\o(A1D,\s\up6(→))·eq\o(D1B,\s\up6(→))＝－4＋0＋4＝0，

所以eq\o(A1D,\s\up6(→))⊥eq\o(D1B,\s\up6(→))，即A1D⊥D1B.

又由图易知直线A1D与BD1是异面直线，

所以A1D与BD1异面且垂直.

因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))·n＝0，

又MN?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.

设直线MN与平面BDD1B1所成的角为θ，因为平面BDD1B1的一个法向量为a＝(－1，1，0)，

所以s