黑龙江省哈尔滨市第三中学2024届高三上学期期末数学试题（原卷版）.docx

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哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知，则（）

A. B. C. D.

2.复数的虚部为（）

A. B.2 C. D.

3.函数的大致图象是（）

A. B.

C. D.

4.若，则实数（）

A.6 B. C.3 D.

5.已知命题：为假命题，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

6.若椭圆和双曲线共同焦点为是两曲线的一个交点，则的面积值为（）

A. B. C. D.8

7.等比数列中，为的前n项和，若，则（）

A. B. C. D.1

8.哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同安排方案总数为（）

A.14 B.20 C.28 D.40

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，

9.下列说法正确的是（）

A.已知，若幂函数奇函数，且在上递减，则只能为

B.函数的单调递减区间为

C.函数与函数同一个函数

D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为

10.已知正数，，且，则下列说法正确的是（）

A. B. C. D.

11.在棱长为1的正方体中，下列结论正确的有（）

A.平面

B.点到平面的距离为

C.当在线段上运动时，三棱锥的体积不变

D.若为正方体侧面上的一个动点，为线段的两个三等分点，则的最小值为

12.已知函数在处取得最大值2，的最小正周期为，将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（）

A.是图象的一条对称轴 B.

C.是奇函数 D.方程有3个实数解

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知为第二象限角，，则_______．

14.已知边长为2的等边三角形所在平面外一点是边的中点，满足垂直平面，且，则三棱锥外接球的体积为_______．

15.直线与抛物线交于两点且，则的中点到轴的最短距离为_______．

16.设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为_______．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.在中，角所对的边分别为，且．

（1）求角；

（2）为边上一点，，且，求的值．

18.已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求的前1012项和．

19.已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，若点，且，求实数的取值范围．

20.如图，在四棱锥中，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值．

21.圆经过点，圆心在直线上．

（1）求圆的标准方程；

（2）若圆与轴分别交于两点，为直线上的动点，直线与曲线圆的另一个交点分别为，求证直线经过定点，并求出定点的坐标．

22.已知函数．

（1）求函数在处切线方程；

（2）当时，试比较的大小关系，并说明理由；

（3）设，求证：．