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3.2函数模型及其应用
3.2.1几类不同增长的函数模型
整体设计
教学分析
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同,应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用,都是通过实例来实现的,通过教学让学生认识到数学来自现实生活,数学在现实生活中是有用的.
三维目标
1.借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.
3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值,培养学生学习兴趣.
重点难点
教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.
教学难点:应用函数模型解决简单问题.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时几类不同增长的函数模型
导入新课
思路1.(事例导入)
一张纸的厚度大约为0.01cm,一块砖的厚度大约为10cm,请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度,列出函数关系式,并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗?
解:纸对折n次的厚度:f(n)=0.01·2n(cm),n块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20)≈105m,g(20)=2m.
也许同学们感到意外,通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解.
思路2.(直接导入)
请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质,本节我们通过实例比较它们的增长差异.
推进新课
新知探究
提出问题
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克,需要支付y元,把y表示为x的函数.
②正方形的边长为x,面积为y,把y表示为x的函数.
③某保护区有1单位面积的湿地,由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长,经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.
④分别用表格、图象表示上述函数.
⑤指出它们属于哪种函数模型.
⑥讨论它们的单调性.
⑦比较它们的增长差异.
⑧另外还有哪种函数模型.
活动:先让学生动手做题后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
①总价等于单价与数量的积.
②面积等于边长的平方.
③由特殊到一般,先求出经过1年、2年、….
④列表画出函数图象.
⑤引导学生回忆学过的函数模型.
⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.
⑦让学生自己比较并体会.
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.
讨论结果:
①y=x.
②y=x2.
③y=(1+5%)x,
④如下表
x
1
2
3
4
5
6
y=x
1
2
3
4
5
6
y=x2
1
4
9
16
25
36
y=(1+5%)x
1.05
1.01
1.16
1.22
1.28
1.34
它们的图象分别为图3-2-1-1,图3-2-1-2,图3-2-1-3.
图3-2-1-1图3-2-1-2图3-2-1-3
⑤它们分别属于:y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型),y=kax+b(指数型).
⑥从表格和图象得出它们都为增函数.
⑦在不同区间增长速度不同,随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快,会远远大于另外两个函数.
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=logax+b,我们把它叫做对数型函数.
应用示例
思路1
例1假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?
活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导:我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型,再通过比较它们的增长情况,为选择投资方案提供依据.
解:设第x天所得回报是y元,则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述;方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述;方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.三个模型中,第一个是常函数,后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择,就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.
x/天
方案一
方案二
方案三
y/元
增加量/元
y/元
增加量/元
y/元
增加量/元
1
40
10
0.4
2
40
0
20
10
0.8
0.4
3
40
0
30
10
1.6
0.8
4
40
0
40
10
3.2
1.6
5
40
0
50
10
6.
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