数值分析矩阵特征值特征向量计算.ppt

*第八章

矩阵特征值计算数值分析——幂法与反幂法*本章内容特征值基本性质幂法与反幂法正交变换与矩阵分解QR方法*本讲内容特征值基本性质幂法幂法的加速反幂法*特征值性质Ax=?x(??C,x?0)性质(1)特征值与特征向量(2)(3)(4)若A对称，则存在正交矩阵Q，使得*圆盘定理定理：(Gerschgorin圆盘定理)设?是A的特征值，则i=1,2,...,n设A=(aij)?Rn?n，记Gerschgorin圆盘若有m个圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这m个圆盘内恰好包含m个特征值。*Rayleigh商定理：设A是n阶实对称矩阵，其特征值为则对任意非零向量x，有且称为矩阵A关于x的Rayleigh商。*(1)任取一个非零向量v0，要求满足(x1,v0)?0(2)对k=1,2,...，直到收敛，计算幂法计算矩阵的主特征值（按模最大）及其特征向量假设：(1)|?1|>|?2|?…?|?n|?0(2)对应的n个线性无关特征向量为：x1,x2,...,xn计算过程：幂法（乘幂法，幂迭代）*幂法的收敛性收敛性分析设越小，收敛越快*幂法的收敛性当k充分大时，有又(j=1,2,...,n)vk为?1的近似特征向量*幂法的收敛性定理：设A有n个线性无关的特征向量，其特征值满足则由幂法生成的向量满足注：幂法的收敛速度取决于的大小*幂法改进方法：规范化幂法中存在的问题*幂法?1的计算*改进的幂法定理：设A有n个线性无关的特征向量，其特征值满足则由改进的幂法生成的向量满足(1)任取一个非零向量v0，要求满足(x1,v0)?0(2)对k=1,2,...，直到收敛，计算改进的幂法*举例例：用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量*幂法的加速幂法的收敛速度取决于的大小当r接近于1时，乘幂法收敛会很慢！幂法的加速：原点平移法令B=A–pI，则B的特征值为：?i-p选择适当的p满足：(1)(j=2,...,n)(2)用幂法计算矩阵B的主特征值：?1-p保持主特征值加快收敛速度带位移的幂法*举例例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量，取p=0.75*反幂法计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量假设：(1)|?1|?|?2|?…?|?n-1|>|?n|>0反幂法(2)对应的n个线性无关特征向量为：x1,x2,...,xnA-1的特征值为：对应的特征向量仍然为x1,x2,...,xn反幂法：对矩阵A-1使用幂法