江苏省苏南八校2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷（含答案解析）.docx

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江苏省苏南八校2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知等差数列的前n项和为，且，，则（????）

A．106 B．53 C．48 D．36

2．已知双曲线，下列结论正确的是（????）

A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为

C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为

3．平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的有几个（????）

①直线：过点

②直线在轴的截距是2

③直线的图像不经过第四象限

④直线的倾斜角为

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知等比数列的公比为，前项的和为，且成等差数列，则（????）

A．或 B． C．或 D．

5．过点作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB与抛物线交于C，D，则（????）

A． B． C．2 D．4

6．已知为椭圆的焦点且，M，N是椭圆上两点，且，以为直径的圆经过M点，则的周长为(????)

A．4 B．6 C．8 D．12

7．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（????）

A． B． C． D．

8．设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知空间中三点，，，则（????）

A．

B．方向上的单位向量坐标是

C．是平面ABC的法向量

D．在上的投影向量的模为

10．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（????）

A．直线AB与OM垂直

B．若点M坐标为，则直线方程为

C．若直线方程为，则点M坐标为

D．若直线方程为，则

11．已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（????）

A．若O为线段中点，则

B．若，则

C．存在直线l，使得

D．△PFQ面积的最小值为2

12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（????）

A． B．

C． D．数列的前项和为

三、填空题

13．数列满足，，则数列的前项和．

14．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于．

15．已知圆与圆，若圆与圆外切，则实数m的值是．

16．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意的，恒成立，则的取值范围是．

四、解答题

17．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心在直线：上，

(1)求圆C的方程

(2)在直线：上是否存在一点Q，过点Q向圆C引两切线，切点为E，F，使为正三角形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由.

18．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，Sn+1+1=2an+n+Sn，数列{bn}满足bn=an+n.

(1)求{bn}的通项公式;

(2)令cn=（1+bn）log2bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

19．已知抛物线，其中．点在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍．经过点M的直线与抛物线G交于不同的A，B两点，直线OA与直线交于点P，经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q，

(1)求抛物线的方程和F的坐标；

(2)试判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由．

20．设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且．

（1）求证：为等差数列，并分别求、的通项公式；

（2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围．

21．已知动点P到定点的距离和它到直线距离之比为2；

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.

22．已知椭圆过点和点，的上顶点到直线的距离为2，如图过点的直线与轴的交点分别为，且，点关于原点对称，点关于原点对称，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)求的长度；

(3)求四边形面积的最大值．

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