高三立体几何试题及答案.docx

1．如图，正方体 ABCD－A B C D 的棱长为 a，点 P 是棱

1 1 1 1

AD上一点，且AP

a

＝，过

B，D，P的平面交底面ABCD

3 1 1

于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝ .

如图，在直四棱柱ABCD－ABCD中，∠ADC＝90°，

111 1

且AA＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，

1

当DM⊥平面ACD时，DM＝ .

1 11

如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD

的中点．

求证：平面PDC⊥平面PAD；

求点B到平面PCD的距离；

如图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边

1

梯形，BC⊥AB，BC＝CD＝BO＝PO，EA＝AO＝2CD.

求证：BC⊥平面ABPE；

直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由．

形ABCD为直角

90°

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－ABCD中，E、F分别为DD、DB的中点．

11 1 1 1

求证：EF∥平面ABCD；

1 1

求证：EF⊥BC；

1

求三棱锥B－EFC的体积．

1

如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝

求证：PC⊥BC

求点A到平面PBC的距离．

3 1 1 1 1∥1 11. 2 2a ∵BD∥平面ABCD，平面BDP∩平面ABCD＝PQ，∴

3 1 1 1 1

∥

1 1

PQ，

1 1又BD∥BD，∴BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ

1 1

PM AP∴PQ＝PD＝2，即PQ＝2PM

PM AP

3aBD AD 3 3又△APM∽△ADP，∴PM＝AP＝1，∴PM＝1BD，又BD＝2a，∴PQ＝

3a

BD AD 3 3

1 12.[答案] 2 2 ∵DA＝DC＝DD且DA、DC、DD两两垂直，故当点M使四边形ADCM

1 1

1 1 1DM⊥平面ACD，∴DM＝2 2.(2)过A作AF⊥PD，垂足为F

1 1 1

在RtPAD中，PA＝2，AD＝BC＝4，PD＝ 42＋22＝2 5，

AF·PD＝PA·AD，∴AF 2×4＝4 5，即点B到平面PCD的距离为4 5.

＝

＝

2 5 5 5

4.[解析] (1)∵PO⊥平面ABCD，

BC?平面ABCD，∴BC⊥PO，

又BC⊥AB，AB∩PO＝O，AB?平面ABP，PO?平面ABP，∴BC⊥平面ABP，又EA∥PO，AO?平面ABP，∴EA?平面ABP，∴BC⊥平面ABPE.

(2)点E即为所求的点，即点M与点E重合．

取PO的中点N，连结EN并延长交PB于F，∵EA＝1，PO＝2，∴NO＝1，又EA与PO都与平面ABCD垂直，

2∴EF∥AB，∴F为PB的中点，∴NF＝1OB＝1，∴EF＝2，

2

又CD＝2，EF∥AB∥CD，∴四边形DCFE为平行四边形，∴DE∥CF，

∵CF?平面PBC，DE?平面PBC，∴DE∥平面PBC.∴当M与E重合时即可．

1 1 1 11 1 1 1 1 1 15. (1)证明：连结BD，在△DDB中，E、F分别为DD，DB的中点，则 EF∥DB，又EF?平面ABCD，DB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1证明：∵BC⊥AB，BC⊥BC，AB∩BC＝B

1 1 1 1

1 1 1∴BC⊥平面ABCD

1 1 1

1 11 1 1 1 1又BD?平面ABCD，∴BC⊥BD，又EF∥BD，∴EF⊥B

1 1

1 1 1 1 1

1 11解：∵CF⊥BD，CF⊥BB，∴CF⊥平面BDDB

1 11

1即CF⊥平面EFB，且CF＝BF＝2

1

∵EF＝1BD＝ 3，BF＝ BF2＋BB2＝ ? 2?2＋22＝ 6，BE＝ BD2＋DE2＝ 12＋?2 2?2＝

2 1 1 1

3，

1 1 1 1

1 1 1∴EF2＋BF2＝BE2，即∠EFB＝90°

1 1 1

∴VB－EFC＝VC－BEF＝1·S△BEF·CF

1 1 3 1

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