重庆市渝北中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学答案.docx

渝北中学2023-2024学年高三12月月考质量监测

数学参考答案

单项选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

D

C

D

C

B

A

8.解：函数的定义域为，由，得，

所以，令，

由题意知，函数和函数的图象，

一个在直线上方，一个在直下方，

等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，

由，得，

所以当时，递增，当时，递减，

所以，没有最小值，

由，得，

当时，在上递增，在上递减，

所以有最大值，无最小值，不合题意，

当时，在上递减，在上递增，

所以，所以即，

所以，即的取值范围为．故选A.

多项选择题

题号

9

10

11

12

答案

AD

AC

ACD

BC

12．解：因为为偶函数，则，两边求导得，

所以为奇函数，因为，，

所以，故，所以，

即的周期且，则，故A错误；

在，中，

令，可得，所以，故B正确；

由，令，可得，

则，则，即，所以，故D错误；

在中，令得，，

在中，令得，，

两式相加得，即，故C正确.故选：BC.

三、填空题

13．14.1515．16．

解：平面内动点P满足，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

因为，由勾股定理可得：，

所以，且，

所以，所以，

，

，

，

又向量是长度为的一个向量，由此可得，点P在圆上运动，

当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为，

故的最小值为.

四、解答题

17．解：（1）由，得，又，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

即，即，

所以，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列；

（2）由（1）得，

当为偶数时，

；

当为奇数时，

；

综上所述，；

18.解：（1）∵，根据正弦定理得，，

即，

所以，因为，

所以，所以，

因为，所以．

因为，，，根据余弦定理得

，∴．

∵，∴．

在中，由正弦定理知，，∴，

∴，，所以

，

19．解：（1）记事件“第一项测试选择了项目A”，“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试通过”，

由题意知，，

，

又事件互斥，则，

即，

即居民甲第一项测试“通过”的概率是.

（2）由居民乙获一等奖的概率为，可知.

则.

令，

当时，；当时，.

所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.

所以.所以的最小值为.

20．（1）证明：设，交于点O，连接，，，

因为，，，

所以，所以，

又因为O为正方形的对角线交点，

即O是线段的中点，所以，

又因为四边形为正方形，所以，

又因为，平面，所以平面．

（2）解：??∵底面是正方形，，∴，，

又，，∴为等边三角形，

∵O为中点，∴，

又，平面，∴平面，

∴，，两两互相垂直，

以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

如图，∴，，，

所以，

，

设平面的法向量，

则，即，

令，则，，

∴，

取平面的法向量，

设平面与平面所成夹角为，

则，

所以二面角的余弦值为．

21．解：（1）双曲线的焦点为，，

则，即，

又点在椭圆上，

则，解得，，

所以椭圆的方程为.

（2）由题意，设直线的方程为，则，

设，，则，直线的方程为：，

令，得点的横坐标为，

联立，整理得，

则，解得或，

，，

则，

从而，

当且仅当，即时等号成立，

所以的取值范围为.

（1）解：∵，∴，，

∴曲线在点处的切线方程为.

（2）证明：由存在两个正实数根，

整理得方程存在两个正实数根.

由，知，

令，则，

当时，，在上单调递增;

当时，，在上单调递减.

所以.

因为有两个零点，即，得.

因为实数是的两个根，

所以，从而.

令，，则，变形整理得.

要证，则只需证，即只要证，

结合对数函数的图象可知，

只需要证，两点连线的斜率要比，

两点连线的斜率小即可.

因为，所以只要证，

整理得.

令，

则，

所以在上单调递减，即，