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偏对称拉普拉斯分布的若干性质浅析
目录
TOC\o1-9\h\z\u目录 1
正文 1
文1:偏对称拉普拉斯分布的若干性质浅析 1
1、引言 1
,(24) 5
,(25) 5
,(26) 5
文2:若干概率分布的正态逼近 6
【包括:毕业论文、任务书】 8
原创性声明(模板) 8
正文
偏对称拉普拉斯分布的若干性质浅析
文1:偏对称拉普拉斯分布的若干性质浅析
1、引言
偏对称分布的研究已经持续了半个多世纪,Roberts(1966)最早提出偏正态分布,Azzalini[1](1985)在此基础上定义了偏正态分布的概念。Gupta[2](2002)研究了偏对称拉普拉斯分布的一些性质;TomaszandSeidu[3][4](2006)等讨论了拉普拉斯分布的离散形式,然后给出了概率密度函数、分布函数、特征函数、均值和方差的表达式。对偏拉普拉斯分布的应用研究也取得了一些成果,如OlgaandJosé[5](2008)等把偏拉普拉斯分布应用于微生物中流式细胞数据,并在图像和数值方面都取得了很好的拟合效果。
定义1.1设为随机变量,是偶函数且为的概率密度函数,是标准拉普拉斯分布函数,即,这里的表示示性函数。若的概率密度函数为其中是位置参数,是尺度参数,是偏度系数,则称服从偏对称拉普拉斯分布(以下用到的地方皆与此同义)。时,,则服从于标准偏对称拉普拉斯分布;
时,,,当时趋向于的概率密度函数时,,无意义;时,,,趋向于的概率密度函数。
性质1.1设,是定义1.1中的随机变量,则
(i)的偶阶距相同。(ii)的分布函数相同。
证明:令特征函数为,特征函数为,则
令,则令,因此由此式可证第(i)条结论,且可推知与的阶距相同,则性质(ii)成立。
接下来将讨论f取不同的对称概率分布函数的情况,包括f取正态分布、均匀分布、Laplace分布、Logistics分布、三角分布,并研究了他们的一些性质。最后提出了若干类似的分布,有待讨论。
2、若干偏对称拉普拉斯分布
(1)偏正态拉普拉斯分布
定义2.1设为随机变量,为标准正态分布的概率密度函数,为标准拉普拉斯分布函数,若的概率密度函数为则称服从偏正态拉普拉斯分布。当时,就称服从标准偏正态拉普拉斯分布。
性质2.1若随机变量的分布为标准偏正态拉普拉斯分布,则的分布为自由度为1的卡方分布。
性质2.2若随机变量的分布为标准偏正态拉普拉斯分布,其特征函数为,则
证明:当时,令,
令,
令,
由三式可得
同理当时可得可以求出
(2)偏均匀正态分布
定义2.2设为随机变量,是[-1,1]上均匀分布的密度函数,是标准拉普拉斯分布函数,若的概率密度函数为
则称服从于偏均匀拉普拉斯分布。当时,就称服从标准偏均匀拉普拉斯分布。
性质2.3若随机变量的分布为标准偏均匀拉普拉斯分布,其特征函数为,则
证明:当时,同理当时可得由上述性质,可以求出
(3)偏Laplace分布
定义2.4设为随机变量,和分别是标准拉普拉斯分布的密度函数和分布函数,若的概率密度函数为,则称服从偏Laplace分布。当时,就称服从标准偏Laplace分布。
性质2.5若随机变量的分布为标准偏Laplace分布,其特征函数为[2],则证明:当时,同理可得
由(15)式可得
(4)偏Logistics拉普拉斯分布
定义2.5设为随机变量,为标准Logistics分布的密度函数,为标准拉普拉斯分布的分布函数,若概率密度函数为
则称服从偏Logistics拉普拉斯分布。当时,就称服从标准偏Logistics拉普拉斯分布。
性质2.6若随机变量的分布为标准偏Logistics拉普拉斯分布,设为的概率密度函数则由此式可以求出
(5)偏三角正态分布
定义2.6设为随机变量,为[-1,1]上的对称三角分布的密度函数,,若的概率密度函数为则称服从偏三角拉普拉斯分布。当时,则称服从标准偏三角拉普拉斯分布。
性质2.7若随机变量的分布为标准偏三角拉普拉斯分布,其特征函数为,则
证明:当时,利用分部积分可得
同理当可得
可得
3其它相关分布
定义3.1设为随机变量,为标准Cauchy分布的密度函数,为标准拉普拉斯分布的分布函数,若的概率密度函数为
,(24)
则称服从偏Cauchy拉普拉斯分布。当时,就称服从标准偏Cauchy拉普拉斯分布。
定义3.2设为随机变量,为Slash分布的密度函数,为标准拉普拉斯分布的分布函数,若的概率密度函数为
,(25)
则称服从偏Slash拉普拉斯分布。当时,就称服从标准偏Slash正态布。
定义3.3设为随机变量,为t分布的密度函数,为标准拉普拉斯分布的分布函数,若的概率密度函数为
,(26)
则称服从偏t拉普拉斯分布。当时,则称服从标准偏t拉普拉斯分布。
4总结
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