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专题26四点共圆模型
【模型】如图26-1，已知在由点、、、构成的四边形中，
（1）点、、、四点在同一个圆上，且为圆的直径。
（2）圆内接四边形的对角互补。
【模型变式】
如图26-2，已知为和的公共边，点、在的同侧，且。
点、、、四点在同一个圆上，且为圆的直径。
【例1】如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（??）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
【解析】∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故选：A．
【例2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O半径为4，且∠C＝2∠A，则的长为__．
【答案】4
【分析】连接OB，OD，利用内接四边形的性质得出∠A=60°，进而得出∠BOD=120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解析】连接OB，OD，过O作OE⊥BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=2∠A，
∴∠C+∠A=3∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
在Rt△BEO中，OB=4，
∴BE=2，
∴AC=4，
故答案为：4．
【例3】如图，已知Rt和Rt，，，，，点在边上，射线交射线于点．
（1）如图，当点在边上时，联结．
①求证：；
②若，求的长；
（2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）的长为或
【分析】（1）①先证明，再证明，，推导出，得；
②由，得，依次求出、、、的长，再根据勾股定理求出的长，再求出的长；
（2）分三种情况讨论，一是，可证明，求出AP的长，在中根据勾股定理求出AE的长，再根据相似三角形的性质求出BF的长；二是，可证明，则，根据相似三角形的性质可求出BF的长；三是，可证明CE∥AB，此时射线CE与射线没有交点．
【解析】（1）①证明：如图1，，，
（AA），
，
，，
（AA），
，
，，
，
（SAS），
，
，．
②如图1，，
，
∵
∴∠BAE=∠CBA
又∵∠AFE=∠BFC
（AA），
，
，，
，
，，
∵
∴，
，
，，
∵∠EAC=∠CDE=90°
∴C、A、E、D四点共圆，
∴∠CEA=∠CDA
∴△AEF∽△DCF（AA）
∴，
∴，即，
解得，
．
（2）如图2，，
，
，
，
，，
，
，
，
∵
∴C、E、A、D四点共圆
又∵∠CDE=90°
∴∠CAE=90°
∴，
，
，
，
∴△AFE∽△BFC
，
如图3，，
，
，，
设交于点，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
如图4，，则，
，，
，
，
，
射线与射线没有交点，
综上所述，的长为或．
一、单选题
1．如图，Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，O为AC的中点，K为BC上一点，NC⊥BC，且NC＝BK，AK分别交BN、OB于M、F，AC交BN于E，连接OM，下列结论：①AK⊥BN；②OE＝OF；③∠OMN＝45°；④若∠OAF＝∠BAF，则．其中正确结论的个数有（????）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据K型全等和八字形倒角可证①正确；根据△ABC是等腰直角三角形，O为AC的中点，可得BO三线合一，可证△OBE≌△OAF(ASA)，得出②正确；根据∠AMB=90°∠AMB+∠AME=180°，可得∠AME+∠BOE=180°，可证E、M、F、O四点共圆，然后根据同弧所对的圆周角相等，可得③正确；取AF的中点G连接OG，易得OG是直角三角形AOF的中线，根据∠BAC=45°，∠OAF=∠BAF，∠OAF+∠BAF=∠BAC，易证OM=OG=AF，可证④正确．
【解析】解:①∵NC⊥BC，
∴∠BCN=90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BCN=∠ABC，
∵AB=BC，NC＝BK，
∴△ABK≌△BCN（SAS），
∴∠KBM=∠BAM，
∵∠ABC=∠KBM+∠ABM=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∵∠ABM+∠BAM+∠AMB=180°，
∴∠AMB=90°，
∴AK⊥BN；
②∵AB=AC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵O为AC的中点，
∴BO是等腰直角三角形ABC的中线垂线角平分线，
∴OB=OA，∠BOE=∠AOF=90°，∠OBC=∠ABC=45°，∠BAC=45°，
∵∠OBC=∠KBM+∠OBE=45°，∠BAC=∠BAM+∠OAF=45°，∠KBM=∠BAM，
∴∠OBE=∠OAF，
∴△OB
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