计算方法第4章--插值法.pptVIP

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2023-12-19 发布于江苏
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计算方法第4章--插值法.ppt

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从而得到正则方程组解此方程组得α0,α1,α2的值,即可求得近似函数P2(x)。一般地,对于Pm(x),可类似地得到m+1阶正则方程组(4―73)写成矩阵形式(4-74)例8设有一组数据表x1345678910y2781011111098试用二次多项式来拟合这组数据。解首先算出的值分别为53,76,489,381,3547,3017,25317,然后得到正则方程组9α0+53α1+381α2=7653α0+381α1+3017α2=489381α0+3017α1+25317α2=3547解得α0=-1.4597,α1=3.6053,α2=-0.2676因此所求的二次多项式P2(x)=-1.4597+3.6053x=0.2676x2给出的数据和二次多项式表示的曲线见图4.5。图4.5最后必须指出,在实际问题中,近似函数φ(x)的选取只能凭经验得到。例(1)加速度与时间的关系是线性关系,可选取φ(x)=α0+α1x(2)炮弹在空中的高度与时间的关系近似于抛物线,可选取φ(x)=α0+α1x+α2x2此外,当φ(x)不是多项式时,如(1)幂函数φ(x)=axb(2)指数函数φ(x)=aebx(3)对数函数φ(x)=a+blnx例9求一个经验函数φ(x)=aebx(a,b为常数)使它能和下面给出的数据相拟合。x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6解对经验公式两边取对数得lnφ(x)=lna+bx令A=lna,B=bu=lnφ(x)则u=A+Bx可算得于是得到正则方程组8A+36B=29.978736A+204B=147.1948解得A=11.36,B=0.2926因此经验公式为φ(x)=11.36e0.2926x§4代数多项式的余项代数多项式Pn(x)仅为已知函数f(x)的一种近似表达式,用它来代替f(x)进行计算总会带来误差。一般说来,对插值区间［a,b］上插值基点xi(i=0,1,2,…,n)以外的点,Pn(x)≠f(x)。若令Rn(x)=f(x)-Pn(x)则f(x)=Pn(x)+Rn(x)我们称Rn(x)为插值多项式Pn(x)的余项。显然有Rn(xi)=0,i=0,1,2,…,n下面给出插值多项式Pn(x)余项的表达式。定理设函数f(x)在区间［a,b］上具有n+1阶导数,Pn(x)为次数不高于n的多项式,且Pn(x0)=y0Pn(x1)=y1…Pn(xn)=yn则对插值区间上的任何x,都存在ξ∈(a,b),使得这里