2022-2023学年上海高一下学期数学教材同步 核心考点01三角含详解.docxVIP

核心考点01三角

目录

考点一：任意角的三角函数的定义考点二：三角函数值的符号

考点三：诱导公式考点四：运用诱导公式化简求值

考点五：同角三角函数间的基本关系考点六：三角函数恒等式的证明

考点七：两角和与差的三角函数考点八：二倍角的三角函数

考点九:半角的三角函数考点十：三角函数的恒等变换及化简求值

考点十一：正弦定理考点十二：余弦定理

考点十三：解三角形

考点考向

考点考向

一．任意角的三角函数的定义

【知识点的认识】

任意角的三角函数

1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝．

2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．

【解题方法点拨】

利用三角函数的定义求三角函数值的方法

利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：

（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．

二．三角函数值的符号

【知识点的知识】

三角函数值符号记忆口诀

记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

三．诱导公式

【概述】

三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．

【公式】

①正弦函数：表达式为y＝sinx；

有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx

②余弦函数：表达式为y＝cosx；

有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx

③正切函数：表达式为y＝tanx；

tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（﹣x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx

④余切函数：表达式为y＝cotx；

cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（﹣x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．

【应用】

1、公式：

公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．

公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．

公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．

公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．

公式五：sin＝cos_α，cos＝sinα．

公式六：sin＝cos_α，cos＝﹣sin_α

2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．

3、在求值与化简时，常用方法有：

（1）弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．

（2）和积转换法：利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．

（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．

4、注意：

（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．

（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．

（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．

四．运用诱导公式化简求值

【知识点的认识】

利用诱导公式化简求值的思路

1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．

2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．

3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．

4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．

五．同角三角函数间的基本关系

【知识点的认识】

1．同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．

（2）商数关系：＝tanα．

2．诱导公式

公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．

公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，c