专题07 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题（解析版）.docx

专题07难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题

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目录

TOC\o1-3\h\u【典型例题】 1

【考点一新定义型二次函数——关联抛物线】 1

【考点二新定义型二次函数——友好同轴二次函数】 6

【考点三新定义型二次函数——衍生抛物线】 10

【考点四新定义型二次函数——旋转函数】 14

【考点五新定义型二次函数——同轴对称抛物线】 15

【考点六新定义型二次函数——镜像抛物线】 18

【考点七新定义型二次函数——孔像抛物线】 20

【考点八新定义型二次函数——系列平移抛物线】 23

【典型例题】

【考点一新定义型二次函数——关联抛物线】

例题：（2023·黑龙江大庆·统考三模）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E．

(1)若点E的坐标为，求的解析式；

(2)设的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标；

(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N．

①当MN=6时，求点P的坐标；

②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值．

【答案】(1)

(2)

(3)①或，②或

【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标；

（2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论；

（3）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标；

②当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值．

【详解】（1）解：∵C1与y轴交点的坐标为E（0，-1），

∴，解得．

∴C1的解析式为；

（2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为，

∵，

∴的顶点的坐标为

易得点E，

过点作轴于点，连接．

??

∴，，，

∵，

∴，即．

解得，

∴点E的坐标为；

（3）解：①设点P的横坐标为m，

∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点，

∴，，

∴，

∵，

∴，解得或，

∴或；

②∵的解析式为，

∴当时，，

当时，；

当时，．

根据题意可知，需要分三种情况讨论：

Ⅰ．当时，，且当时，函数的最大值为；函数的最小值为-3．

∴，解得或（舍）或（舍）；

当时，函数的最大值为，函数的最小值为-3．

∴，解得或（舍）或（舍）；

Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为，

∴，解得（舍）或（舍）；

Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去．

综上，a的值为或

【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．

【变式训练】

1．（2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．

(1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；

(2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．

①当时，求点的坐标；

②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．

【答案】(1)，顶点为

(2)①或；②或．

【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；

（2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解；

②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．

【详解】（1）解：抛物线的“关联抛物线”为，

根据题意可得，的解析式

顶点为

（2）解：①设，则，

∴

当时，

解得，

当时，方程无解

或

②的解析式

顶点为，对称轴为

，

当时，即时，

函数的最大值为，最小值为

的最大值与最小值的差为

解得（，舍去）

当时，且即时，

函数的最大值为，最小值为

的最大值与最小值的差为

解得（，舍去）

当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，

函数的最大值为，最小值为

的最大值与最小值的差为

即

即

解得（舍去）

综上所述，或．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．

【考点二新定义型二次函数——友好同轴二次函数】

例题：（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．

(1)函数的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．

(2)已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为．

①