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块体几何建模的切割法

1边坡块体稳定性分析系统的建立

根据许多例子，岩石屑（楔形体）的主要破坏形式是岩石减少和破坏。这就要求施工技术人员在现场根据岩体结构条件,快速准确地判断出可能失稳块体的形状、规模、滑移边界、稳定性状况,并及时提出整治处理措施。对于楔形块体的稳定性分析,主要理论依据是石根华等人提出的块体理论,常用的分析方法主要有赤平投影法和矢量分析法。块体理论在空间块体的稳定性分析中发挥了极大的作用,国内外已开发了一些有关楔形块体稳定性分析的计算机软件。但是,由于块体理论中有些关键问题(最突出的问题是复杂形状块体的几何建模)并未得到很好地解决,致使现有的相关软件也存在着这样那样的缺点。最常见的缺点有:

(1)只能分析计算简单块体(四面体和具有固定模式的五面体),对于更复杂的楔形块体稳定性分析问题则不能处理。

(2)只能处理随机节理所构成的块体,对有确定位置和确定边界面的楔形体则不能进行分析(如多伦多大学开发的UNWEDGE软件)。

(3)把常见的楔形块体形状归结为几类固定的分析模式,然后根据实际情况套用某一模式进行分析计算(如国内有关的软件),这样的建模思路既不灵活也很容易出错。

为了克服上述缺陷,笔者在前人工作的基础上,将块体理论、矢量分析、排列组合、空间解析几何与现代计算机技术有机地结合,对原有的楔形块体稳定性分析理论和方法作了一些改进和完善,并成功地开发出方便、实用的“边坡块体稳定性分析系统”(StabilityAnalysisofSlopeWedges,简称SASW)。经大量的实例检验结果表明,运用该系统可以实现对边坡中复杂形状块体稳定性的现场快速评价。

2确定切割面的条件和方法,进行“切割法”建模

众所周知,互相相交的3个面可以形成块体的一个顶点,因此,由排列组合的知识,对于四面体而言,4个面最多可形成C3443个顶点,而四面体有且仅有4个顶点。因此,互相相交的4个面可构成唯一的四面体。现假定构成四面体的4个面方程为:

3个不平行的平面可相交构成唯一的交点,因此,在上式中任取3个方程联立求解(用高斯消元法或用克莱姆法),即可求得四面体3个顶点的坐标。在此基础上,很易求得四面体棱长、各面面积及四面体的体积。

五面体有5个面,按照排列组合计算,任三个面组合可形成10(C3553)个顶点,但实际的五面体最多只有6个顶点(五面锥体仅有5个顶点),因此,五面体建模时必须从10个点中排除4个虚顶点。如何排除这4个虚顶点将是五面体建模的关键之所在。

从拓扑学、空间解析几何、矢量分析以及软件实现难易程度等多种角度综合考虑,经过多方案的对比分析,最后提出了复杂块体(五面体,六面体甚至更为复杂的块体)的建模方法——“切割法”。“切割法”的基本观点为:n面体可以用一个面去切割n-1面体来形成。如图1所示,对于五面体,主要有三种切割模式。第一种(a)为四面体的一个顶点被切除,形成常见的五面体形式;第二种(b)为四面体的其中两个顶点同时被切除,形成两个五面体;第三种情况(c)为切割面经过四面体的一个顶点,结果四面体被切割成五面锥体。对于第二种情形,所形成的两个五面体在大多数情况下只有一个五面体同时满足有限性和可动性的条件。在上述基础上,根据切割面与被切割的四面体的相对关系,便可具体计算出五面体6个顶点的坐标。在此以图1中第一种情况(a)为例,说明求五面体的具体方法。

为了叙述方便起见,先对构成五面体的各结构面进行编号。如图1a所示,假定面ABD的编号为1;面BCD的编号为2;面ACD的编号为3;面ABC的编号为4;面EFG的编号为5。

(1)从可能构成五面体的五个面中任意选取一个面(例如选编号为5的面)作为切割面,则其余4个面(编号1,2,3,4)可构成一个四面体。采用四面体的建模方法建立此四面体的模型(即四面体ABCD),并求出此四面体4个顶点的坐标。

(2)将四面体ABCD的4个顶点坐标分别代入编号为5的结构面方程中,并判断方程左端是大于0还是小于0从图1a中很容易看出,当将四面体的四个顶点坐标代入面5的方程中时,肯定有3个顶点使得方程左端大于(小于)0,1个顶点使得方程左端小于(大于)0。

显然,这单独的一个顶点(图中的D点)就是要除去的,不是真正构成五面体的点,记下构成该点的3个结构面(编号为1,2,3)。

(3)从构成单独点的三个结构面中任意抽出两个结构面,并将其与切割面(编号为5)一起,构成五面体新的顶点(E、F、G点)。至此,构成五面体的五个顶点便求出来了,在图1a中它们分别为A、B、C、E、F、G点。

在求得五面体各个顶点坐标后,可按照与四面体类似的办法求出五面体各个面的面积、各棱的棱长、重心以及体积。五面体的体积可看作大小不同的两个四面体的体积之差。六面体的建模方法与五面体的建模方法类似。