新教材2023年秋高中数学第2章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.2两点间的距离公式教师用书含答案新人教A版选择性必修第一册.docVIP

2.3.2　两点间的距离公式 学习 任务 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象) 2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理) 知识点　两点间的距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x2 (2)两点间距离的特殊情况 ①原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝x2 ②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|． ③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|． 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝x1-x 提示：可以，原因是x2-x12+y2-y1 已知点P1(4，2)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________． 25　[|P1P2|＝4-22+2+22＝ 类型1　求两点间的距离 【例1】　(源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)． (1)试判断△ABC的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． [解]　(1)根据两点间的距离公式，得 |AB|＝1-42 |BC|＝3-12+ |CA|＝4-32+ 因为(10)2＋(210)2＝(52)2， 即|AB|2＋|BC|2＝|CA|2， 所以△ABC是直角三角形． (2)因为BC的中点D的横坐标x＝1+32＝2，纵坐标y＝2+-4 所以BC边上中线的长|AD|＝2-42+ 　计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝x2 (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． [跟进训练] 1．(1)已知点A(－3，4)，B(2，3)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值； (2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． [解]　(1)设点P的坐标为(x，0)，则有 |PA|＝x+32+ |PB|＝x-22 由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7， 解得x＝－95 故所求点P的坐标为-9 |PA|＝-95+3 (2)法一：∵|AB|＝3+32+-3 |AC|＝1+32+7- 又|BC|＝1-32+ ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝7-11 kAB＝-3-1 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB． 又|AC|＝1+32+7- |AB|＝3+32+-3 ∴|AC|＝|AB|. ∴△ABC是等腰直角三角形． 类型2　坐标法的应用 【例2】　如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝AD2＋|BD|·|DC [思路导引]　建立适当的坐标系→写出相关点的坐标→利用两点间的距离公式求距离→证明． [证明]　如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系． 设A(0，a)，B(－b，0)， C(b，0)，D(m，0)(－b<m<b)． 则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2， |AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2， |BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)·(b－m)＝b2－m2，∴|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2， ∴|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 　坐标法及其应用 (1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点： ①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算； ②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴． (2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤： ①建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； ②用坐标表示有关的量； ③将几何关系转化为坐标运算； ④把代数运算结果“翻译”成几何关系． [跟进训练] 2．已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD． 求证：|AC|＝|BD|. [证明]　如图所示，建立直角坐标系， 设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)． ∴|AC|＝b-02 |BD|＝a-b- 故|AC|＝|BD|. 类型3　对称问题 　光的反射问题 【例3】　一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程． [解]　如图，设原点关于l的对称点A的坐