第二节洛必达法则 .pptxVIP

高等数学 第二节 洛必达法则 一 、 型未定式 二、1型未定式 三 、其它类型的未定式 可能存在 也可能不存在 都趋于零或都趋于元穷大， 那么极限 通常把这种极限叫做未定式 两个函数)与gx) 高等数学 例如 本节主要研究这些未定式极限 其它类型的未定式 高等数学 2)f(x)与F(x)在(a)内可导，且F(x)≠0 存在 (或为 ) 那么 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 型未定式极限 (洛必达法则 Ⅰ) 若 一 、 定理 1. 高等数学 证： 不妨假设。o-" f(x),F(x)在以α与x为端点的区间上， 满足柯西中值定理的条件, 则有 (ξ 介于x与a之间) 3) 且FX)≠0 存在 (或为 )则 高等数学 若 定理 1. 2)f(x)与F(x)在a)内可导，且FX)≠0 存在 (或为 ) 洛必达法则 推论1. 定理 1 中x→ a 换为 之一,条件 2)作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 推论 2. 若 理1条件,则 高等数学 如果有必要可连续应用有限次洛必达法则， 直至求出极限值，或找出不符合法则的情形为止， 若永远是未定式 ， 则方法失效，改，改用其他求极限方法 推论 2. 若 理1条件,则 高等数学 解 : 原式 例2. 求 1-cosx —32— 高等数学 解 : 原式 (x- sinx) 例1. 求 6x 注意：洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用 ， 效果会更好. x→ 0时， sinx～ x 解 :注意到： 2sec2x.tanx 高等数学 例3. 求 原式 高等数学 例4. 求 解原式 ＝ 2 例5. 求 解 :原式 ( n为正整数)? 思考 : 如何求 高等数学 解 :注意到：x→…时 ~ 高等数学 例6. 求 arc cotx 原式 二 、 型未定式极限 定理 2. 2)f(e)与F(x)在a)内可导且FX)≠ 之一, 条件 2)作相应的修改 , 说明 : 定理中x→ a 换为 存在 (或为 ) 定理仍然成立. (洛必达法则) 高等数学 时, 后者比前者趋于 更快 . 例8. 求 解 : 原式 例7. 求 解 : 原式 例7 , 例8 表明 高等数学 n! 例9. 求 (n为正整数). 令t=lnx t" 解 : 原式 高等数学 解决方法 : 关键将其他类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型： . 步骤 : 例10. 求 三 、其他未定式 : 高等数学 解 : 原式 例11. 求 解 : 原式 = (继续用洛必达法则) (用洛必达法则) 高等数学 50 ! e 例12. 求 - 解 : 原式期 ) 2、分母有理化; 高等数学 步骤 : 例13. 解 : 原式 高等数学 原式 又 步骤 : 幂指函数求极限 转化为 高等数学 例14. 求 步骤 : 例14. 求 幂指函数求极限 转化为 00型 高等数学 解 : 步骤 : 幂指函数求极限 转化为 例14. 求 又 解 : 原式= 高等数学 例14. 求 又 解 : 原式= 高等数学 原式= 步骤 : 幂指函数求极限 转化为 解 : 原式= 高等数学 例14. 求 又 例14. 求 解 : 原式= 又 高等数学 原式= 幂指函数求极限 limf(x)s 内容小结 转化为 limem 洛必达法则 高等数学 注意 : 1． 洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但最好能 与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可能 先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽可能应用 这样可以使运算简捷 2． 不是未定式不能用洛必达法则 高等数学 3. 在满足定理条件的某些情况下 必达法则不能解决 计算问题 ----失效 高等数学 例如， 而 高等数学 例如, 4. 若