湘教版高中数学必修第一册3-2-1函数的单调性与最值教学课件.ppt

第1课时　函数的单调性与最值 最新课程标准 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性． 2．理解单调性的作用和实际意义． 学科核心素养 1.理解函数单调性的定义及相关概念，理解函数最大(小)值的定义．(数学抽象) 2．能用单调性的定义证明函数的单调性．(逻辑推理) 3．会利用函数的单调性求函数的最大(小)值．(数学运算) 教材要点 要点一　函数最大(小)值 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集． (1)如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点； (2)如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最小值M＝f(a)，称M为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点． 状元随笔　最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0. 要点二　增函数与减函数的定义 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 增函数 减函数 状元随笔　定义中的x1，x2有以下3个特征 (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x1＜x2； (3)属于同一个单调区间． 要点三　单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间I叫作y＝f(x)的________． 单调性 单调区间 × × × √ 答案：D 答案：AB 解析：由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确．故选AB. 4．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________． －1，2 解析：由图象知点(1，2)是最高点，点(－2，－1)是最低点， ∴ymax＝2，ymin＝－1. 题型1　利用图象求函数的单调区间 例1　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R. (1)将函数写成分段函数的形式； (2)画出函数的图象； (3)根据图象写出它的单调区间． C 　[－1，0]，[1，＋∞) (－∞，－1]，(0，1] 方法归纳 利用定义证明函数单调性的步骤 答案：C 状元随笔　利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． 答案：B ? 状元随笔　利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定义域内． 答案：D 方法归纳 “函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义． 方法归纳 1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． C C 6