必修四平面向量的数量积讲义.docx

PAGE PAGE 1 2.3 平面向量的数量积 一、平面向量数量积 1、定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为? ，则数量｜a ｜×｜ b ｜×cos? 叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a · b ，即a · b ＝｜ a ｜×｜ b ｜×cos? 。 注意：（1）两．向．量．的．数．量．积．，．其．结．果．是．个．数．量．，而不是向量，它的值为两向量的模与两向 量夹角的余弦的乘积，其符．号．由．夹．角．的．余．弦．值．决．定．；．（2）两个向量的数量积是两个向量之间 的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“．· ”．不．能．省．略．，．也．不．能．也．成．“．×．”．；（3）在运 ．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．． ．．．．．．．．用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：00≤? ≤1800。（4）规定：零向量与任一向量的数量积为 0，即0 ·b ＝0；（5）当向量a 与b 的夹角为 900 时，叫a 与b 互相垂直，记作： a ⊥ b ，此时： a ⊥ b ? a · b ＝0。 ．．．．．．．．．．． ．． ．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．． ．．．．．．．． 2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于a · b ＝｜ a ｜×｜ b ｜×cos? ，其 中｜ b ｜×cos? 叫做b 在a 方向上的投影，当? 为锐角时，投影为正；当? 为钝角时，投影 为负；当? 就直角时，投影为 0； 当? 为 0 度时，投影是｜ b ｜； 当? 为 180 度时，投影为－｜ b ｜；（2） a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影就不同的；（3） a 在b 方向 ． ． ．．．．．．． ． ．．．．．．．．．． 上的投影值可以写成  a ? b b。 b 例 1：已知｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝5，当（1） a 与b 夹角为 300 时；（2）当a ⊥ b 时；（3）当当a ∥ b 时；分别计算a 与b 的数量积。 3【解析】：（1）5 ； （2）0； （3）±10 3 变式练习 1：已知｜ a ｜＝3，｜b ｜＝5，且a 与b 的夹角为 450，则a 在b 方向上的投影是（ ） A： 3 22 B：3 C：4 D：5 【解析】：A 变式练习 2：已知｜ a ｜＝6，｜ b ｜＝3，且a ·b ＝－12，则a 在b 方向上的投影是（ ） A：－4 B：－2 C：4 D：2 【解析】：A 二、平面向量数量积的性质 若a 与b 是非零向量， e 是与a 方向相同的单位向量，? 是e 与a 的夹角 1、e · a ＝ a · e ＝｜ a ｜×｜ e ｜×cos? 2、a ⊥ b ? a · b ＝0 3、若a 与b 同向，则a ·b ＝｜ a ｜×｜ b ｜ ( 夹角为 0 度 )；若反向，则a ·b a ? a＝－｜ a ｜×｜ b ｜( 夹角为 180 度 )； 特别地， a · a ＝( a )2＝｜ a ｜2 或｜ a ｜＝ a ? a a ? b a ? b4、若? 是a 与b 的夹角，则 cos? ＝ a ? b 5、｜ a · b ｜≤｜ a ｜×｜ b ｜（当a 与b 共线时取等号） 三、平面向量数量积的运算律 1、a · b ＝ b · a 2、( ? a )· b ＝ ? ( a · b )＝ a ·( ? b ) 3、( a ＋ b )· c ＝ a · c ＋ b · c 4、( a ＋ b )·( a － b )＝( a )2－( b )2＝｜ a ｜2－｜ b ｜2 5、( a ＋ b )2＝｜ a ｜2＋2× a · b ＋｜ b ｜2 注意：（1）没有( a · b )· c ＝ a ·( b · c )这个运算定律；（2） a · c ＝ b · c ，则 不能得到a ＝ b ； （3）若a · b ＝0，则a ＝ 0 或b ＝ 0 或< a ， b >＝900。 例 2：下列说法正确的个数 。 （1）两个向量的数量积是一个向量；（2）向量在另一个向量方向上的投影也是向量；（3）若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角，若a ·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角；（4） ( a ·b )·c ＝ a ·( b · c )；（5）若a · b ＝0，则a ＝ 0 或b ＝ 0 。 【解析】：0 个 例 3：已知a 与b 的夹角为 1200，且｜ a ｜＝4，｜ b ｜＝2，则计算( a －2 b )·( a ＋ b )＝ ，｜ a ＋ b ｜＝ 。 3【解析】：12 2 3 例 4：已知OA ⊥ AB ，｜ OA ｜＝4，则OA · OB ＝ 。 【解析】：16 变式练习 1：已知｜ a ｜＝1， a · b ＝