关于两个等腰三角形的三个重要的几何模型之间的异同以及当三角形为等腰直角三角形时的特殊证法.doc

关于两个等腰三角形的三个重要的几何模型之间的异同以及当三角形为等腰直角三角形时的特殊证法 ------手拉手、婆罗摩笈多模型、脚拉脚 初中阶段，关于两个等腰三角形的问题，十分常见.我们可以归纳为大三类，为了介绍方便，分别取名为“手拉手模型、婆罗摩笈多模型、脚拉脚模型”. 1.1 手拉手模型：两个等腰三角形的顶角顶点重合，且顶角相等.按逆时针顺序，把位置相同的底角顶点相连. 简记为：共顶点，同顶角，左手拉左手. 如图，两个等腰三角形△ABE和△ACD，∠BAE=∠CAD，且AB=AE，AC=AD，连接BD，CE. 结论：（1）△ABD ≌△AEC ； （2）∠α+∠BOC=180°(位置相同的底角顶点相连,所成夹角等于顶角) ； （3）OA平分∠BOC(第三边的交点与顶点连线平分第三边的夹角). 证明：（1）由AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠CAE，易得△ABD≌△AEC. 因为△ABD≌△AEC，所以∠CEA=∠DBA，又∠EOA+∠OEA=∠EAB+∠DBA，所以∠OEA=∠α. (3)第3问的证明很巧妙，只需过A点作BD，CE的垂线段.因为△ABD≌△AEC，所以对应边的高也相等.再由角平分线的判定，从而得到OA平分∠BOC. 1.2 手拉手模型的特殊情况： 当两个等腰三角形是等腰直角三角形时，而且隐藏在正方形中，如下： 变式1.如图，两个正方形与,连结,二者相交于点. 问：（1）是否成立？ 是否与相等？ 与之间的夹角为多少度？ 是否平分？ 解析：(1)由得 由 设与相较于点,由 又 过点作于点,于点平分 2.1婆罗摩笈多模型：两个等腰三角形的顶角顶点重合，且顶角互补。按逆时针顺序，把位置不同的底角顶点相连. 简记为：共顶点，顶角互补，左手拉右手. 结论1：取中点，连顶点，得一半且夹角等于同侧顶角.(思路：中线倍长) 结论2：过顶点，取夹角等于同侧顶角，得中点和一半. 具体如下：如图所示，△AOB，△COD为等腰三角形且∠AOB与∠COD互补，直线MN过点O且与AD交于点N，与BC交于点M，求证： ①若M为BC中点，则∠ANM=∠AOB,且OM=; ②若∠ANM=∠AOB，则M为BC中点且OM=. 解析：①延长到,使.连接 易得 又 又 易得 ②过点作交的延长线于点点. 又 又 又易得 ,为中点. 2.2 婆罗摩笈多模型的特殊情况： 当两个等腰三角形是等腰直角三角形时，如下： 变式2.如图分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，O为EG的中点，OA的延长线交BC于点H．（1）求证：BC＝2AO；（2）求证：AH⊥BC． 证明:(1)延长至,使;连接. 易得 又 又 . 变式3.如图分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，OA的延长线交BC于点H，且AH⊥BC，求证：O为EG的中点. 解析：特法一：作垂线段,构造型全等.很容易得到结论. 通法二：过点作,交延长线于点. 又 又 又 又 为的中点 且 3.1脚拉脚模型：两个等腰三角形的底角顶点重合，且顶角互补，也可以说为底角互余. 取另一底角顶点连线的中点，再与顶角顶点相连，得垂直和夹半角. 简记为：共底角，顶角互补，取中点得垂直和夹半角. 具体如下：为等腰三角形，若,. 中点为,且时,求证：,且. 【分析】： 若 则.， 3.2脚拉脚模型的特殊情况： 当两个等腰三角形是等腰直角三角形时，如下： 变式4.如图，△CAB和△BDE都为等腰直角三角形，G是CE中点， 求证：AG=DG，AG⊥DG.（A,B，E不共线） 证明：延长至,使;连接,,. 易得, 又 , 为等腰直角三角形, 又为中点 且 法二：延长至M,使,连接, 延长至,使,连接, 易得,为等腰直角三角形 由手拉手模型,得且 再由中位线性质,得, 且. 法三：取中点,中点,连接,,, 由中位线性质,得平行四边形 ,, , 又 . 以上三个模型都是关于两个等腰三角形的，务必弄清楚不同模型的构造过程.它们彼此之间的条件有相同的部分，也有不同的部分，要注意区分.而且，各自都有很好的结论，要明白如何证明及灵活应用.最后，我们一起来看一个由手拉手模型和脚拉脚模型共同推导出的一个经典结论： 冯.奥贝尔定理：任意四边形ABCD中，E、F、G、H顺次为其各边上所作正方形的中心，则EG=FH，且EG⊥FH. 证明：连接,取中点,连接,,,. 由上题结论，易得且(脚拉脚模型） （都为等腰直角三角形共底角顶点，取另一底角顶点连线的中点） 同理，且，从而得到两个新的等腰直角三角形，再由手拉手模型，∴且.