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复合函数的零点
复合函数的零点
一、相关概念及有关结论
1.复合函数的定义
u = x A B y = f u C
设函数 ( ) 的定义域为是 ,值域是 ;又设函数 ( ) 的定义域是 ,且
B C,
y M A x B u x
,这时对 内每一个 ,通过 ,得到 内唯一的一个 与此 对应,再通
f M y x A x f
过 又得到 内唯一的一个 与此 对应.因此对于 内的每一个 先通过 再通过 ,得
M y x A M u = x
到 内唯一的一个 与此 对应,这就确定了一个从 到 的函数,称它是由 ( ) 与
y = f u y = f x
( ) ( ) u
合成的复合函数(也称嵌套函数),记为 .称 为中间变量,为了叙
u = x y = f u
述方便起见,不妨将 ( )称为内层函数,称 ( ) 为外层函数.
2.有关命题与结论
函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合,同时还涉及“函数与方
程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想.以下引入上述思想的相关命
题,以便为下面的分析与求解提供理论支撑.
二、常见复合函数零点问题的考察类型
f f x = k
1.“ ( ( )) ”型问题
例1
f x log x g x f f x =−1
1 ( ) ( ) ( ( )) _______
.设函数 2 ,则函数 的零点为 .
例2
2
x +x , x 0
2 f(x) f(f(a))≤2 a __________.
.设函数 = 2 若 ,则实数 的取值范围是
−x , x 0
f g x = k
2.“ ( ( )) ”型问题
例3
1
x + x 0
3 2 , ,
f x x =−x +1 g x h x f g x =−1
3 .设函数 ( ) , ( ) 4x 则函数 ( ) ( ( )) 的零点为
x 2 6x 8 x 0
− − − , ,
________
.
y f f x =−x
3.复合函数 ( ) 的零点问题
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