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3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时
导学案
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养.
2.能利用性质解决与抛物线有关的问题.
3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.
重点难点
重点:解决抛物线综合问题和体会抛物线在实际生活中的应用;
难点:解决抛物线综合问题的解题思维培养
课前预习 自主梳理
知识点一 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义,可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线,并求动点的轨迹方程.
知识点二 直线与抛物线的位置关系
设直线,抛物线:,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程.
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有 个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
注意点:
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.
知识点三 直线和抛物线弦长问题
1.弦长公式:若直线(斜率为k)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|= =eq \r(1+\f(1,k2))· .
2.抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为2p.
3.抛物线的焦点弦:过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2= ,x1x2= |AB|= +p,eq \f(1,|AF|)+eq \f(1,|BF|)= .
自主检测
判断正误,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)抛物线是无中心的圆锥曲线. ( )
(2)抛物线过焦点且垂直于对称轴的弦长是. ( )
(3)抛物线的准线方程为. ( )
2.抛物线的焦点坐标是(????)
A. B. C. D.
3.抛物线的准线方程为(????)
A. B. C. D.
4.已知抛物线的焦点为F,点在该抛物线上,且P的横坐标为4,则(????)
A.2 B.3 C.4 D.5
5.已知直线l过点且垂直于x轴.l被抛物线()截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为(????)
A. B. C. D.
新课导学
学习探究
环节一 创设情境,引入课题
我们已经知道了抛物线的定义,并根据抛物线的定义得到了标准方程,通过定义和方程及图像得到了抛物线的几何性质,现请同学完成下列表格.
焦点位置
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
顶点
焦点在x正半轴上
y2=2px(p>0)
(
x
x
y
关于x轴对称
坐标原点
焦点在x负半轴上
y2=-2px(p>0)
(-
x
x
y
关于x轴对称
焦点在y正半轴上
x2=2py(p>0)
(0,
y
y
x
关于y轴对称
焦点在y负半轴上
x2=-2py(p>0)
0,-
y
y
x
关于y轴对称
【师生活动】教师用多媒体展示表格,学生填写.
【设计意图】让学生回忆旧知识,以建立新旧知识之间的联系。
环节二 观察分析,感知概念
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
分析:
环节三 抽象概括,形成概念
追问1 你还有其他证明方法码?
解法二:
环节四 辨析理解 深化概念
例6如图3.3-6,已知定点,轴于点,是线段上任意一点,轴于点 ,于点,与相交于点,求点的轨迹方程.
解:
追问2 问题2中,若设点B关于y轴的对称点为A,求点P的轨迹方程,其轨迹是什么?你能在生活中找到实际例子吗?
环节五 概念应用,巩固内化
例6中,设点关于轴的对称点为,则方程.对应的轨迹是常见的抛物拱(图3.3-7).抛物拱在现实中有许多原型,如桥拱(图3.3-8)、卫星接收天线等,抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分.
教师提出问题,学生思考:
(1)解决抛物线的综合问题时,一般的基本解题思路是什么?,
(2) 生活中还有哪些事物与抛物线有关?
师生活动:学生思考、小组谈论,推选代表发言. 教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结,并对学生回答情况进行评价和补充.
环节六 归纳总结,反思提升
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题:
1. 本节课学习的概念有哪些?
2. 在解决问题时,用到了哪些数学思想?
1.知识清单:
(1)直线和抛物线的位置关系.
(2)抛物线中
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