立体几何解答题最全归纳总结（九大题型）（解析版）.docx

立体几何解答题最全归纳总结 目录 题型一：非常规空间几何体为载体 题型二：立体几何存在性问题 题型三：立体几何折叠问题 题型四：立体几何作图问题 题型五：立体几何建系繁琐问题 题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 题型七：利用传统方法找几何关系建系 题型八：空间中的点不好求 题型九：创新定义 必考题型归纳 题型一：非常规空间几何体为载体 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱台的体积为，其中. ?? (1)求侧棱与底面所成的角； (2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）依题意，在正四棱台中，， 所以上底面积，下底面积， 设正四棱台的高为，则. 连接，则， 所以， 设侧棱与底面所成的角为，则， 由于线面角的取值范围是，所以. （2）连接，设正四棱台上下底面的中心分别为， 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， ， 设线段上存在一点，满足， ， ， 则， ， 若，则， 即， 解得，舍去， 所以在线段上不存在一点，使得. 例2．（2023·全国·高三专题练习）在三棱台中，为中点，，，. (1)求证：平面； (2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积. 【解析】（1）在三棱台中，为中点，则， 又，， ，四边形为平行四边形，， 又，， ，，， ，平面，平面. （2），，， 又，，平面，平面， 连接，，，为中点，； 以为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 设，则，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得：，，； 又平面的一个法向量， ，解得：，即， 平面，平面平面，平面， . 例3．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面． ?? (1)求； (2)当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）作交于，再作交于，连接． 因为平面，所以平面． 又平面平面，所以． 又因为，所以四边形是平行四边形， 所以，即为棱的四等分点， 故也为棱的四等分点，所以． （2）由（1）易知为的四等分点，所以点在点的正上方， 所以底面． 设，则，所以， 所以该四棱台的体积， 而． 当且仅当，即时取等号，此时，． 以为原点，，分别为轴、轴， 过平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 由得令，则． 设与平面所成角为， 则， 故与平面所成角的正弦值为． 变式1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱台中，，，，，． ?? (1)证明：平面平面； (2)设是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）证明： 由三棱台知：， 在梯形中，取的中点，连接， 因， 故，四边形是平行四边形， ∴， ， 所以， ，即， 因，所以， 又因，所以， 又因，所以平面， 因平面， 所以平面平面； （2）取的中点，的中点，连接，，则， 因，所以， 由条件知：四边形是等腰梯形，所以， 平面平面 平面, 平面平面 ∴平面， 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 则在等腰梯形中，由平面几何知识可得：， ∴，，，， 设平面的法向量， 则由得， 令，得，， 所以， 又平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则． 变式2．（2023·安徽·高三安徽省定远中学校考阶段练习）如图，圆锥的高为，是底面圆的直径，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点是母线上一动点. ???????? (1)证明：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积. 【解析】（1）连接，由题意知四边形为菱形，故， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，所以平面，又平面， 故平面平面； （2）以为原点，的中垂线为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 设，显然不合题意，则，则， 于是，，， 设平面的法向量为， 则 令，得，，则 设平面的法向量为，则 令，，则， 从而，解得或3， 因为，故. 此时二面角的余弦值为满足题意. 从而. 变式3．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且. ?? (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）设圆O的半径为r， 在中，，，， 故，又，故， 在中，由余弦定理得， 所以，即； 圆锥中，底面，底面，故， 又，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 有，即，解得， 设直线与平面所成角为， 则. 变式4．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥