应用随机过程试卷.docx

湖南科技学院二○一 年 学期期末考试 数学与应用数学 专业 年级 应用随机过程试题 考试类型：闭卷 试卷类型：C 卷 考试时量： 120 分钟 题 号得 分 阅卷人 F 复查人 — 二 三 四 五 总分 统分人 — 、填空题（每空 4 分共 24 分） 1 21、过程{X (t) ? Z cos at ? Z sin at;t ? 0}，其中 Z ，Z 独立同分布，其共同分布为 N (0,? 2) 1 2 1 2 a 为 常 数 ， 则 均 值 函 数 E( X (t)) ? ， 方 差 函 数 Var( X (t)) ? ， 协 方 差 函 数 ? (s, t) ? ． 2 、 计 数 过 程 ?N (t),t ? 0? 为 参 数 为 2 的 泊 松 过 程 ， 则 P?N (20) ? N (18) ? 2?? ， E(N (3))= ． 3、S (t) ? ? N (t ) Y 是复合Poisson 过程，其中?N (t),t ? 0?为参数为 3 的泊松过程，Y 服 i?1 i 1 从正态分布 N (1,4) ，则 E[S (5)] ? ． 二 、判断题（小题 2 分，共 16 分） 1、 设?N (t),t ? 0?是强度为? 的 Poisson 过程， T 为第n 次泊松事件发生的等待时间， n 则 ?N (t) ? n?? ?T n ? t?． （ ） 2、?N (t),t ? 0?是更新过程，则对0 ? t ? ?? ，有EN (t) ? ?? ． 3、Poisson 过程具有独立增量性． （ （ ） ） 4、?Z ?是马尔可夫链，则P( X n n?2 ? j X ? i, X ? k) ? P( X n 0 n?2 ? j X ? i) ． n （ ） 5、Brown 运动的样本路径B(t) ， 0 ? t ? T 具有连续性． （ ） 6、?Z ?是有限状态的马尔可夫链，其一步转移矩阵为P ，则其n 步转移矩阵 P(n) ? Pn ． n （ ） 7、Brown 运动不是平稳增量过程． （ ） ?8、?N (t),t 0?是Poisson 过程， T 为第n 次泊松事件发生的等待时间，则当t ??? 时， ? n r(t) ? T N (t )?1 t 与 s(t) ? t ? T N (t ) 有相同的极限分布． （ ） 三 、计算题（共 46 分） 1、（12 分）设?N (t),t ? 0?是强度为 3 的Poisson 过程， 求（1） P?N (1)? 2, N (3) ? 4, N (5) ? 6?； （2） P?N (5) ? 6 N (3) ? 4?； （3）求协方差函数? ?s,t ?，写出推导过程． 2、（10 分）设?N (t),t ? 0?是更新过程，第k 次更新与第k ?1次更新的时间间隔 X k 服 从 分 布 P( X k ? 2) ? ， P( X k ? 3) ? 1 3 ． 计 算 P(N (1)? n) ， P(N (2) ? n) ， P(N (3) ? n) ， n ? 0,1,2, ． 3、（12 分）设{N (t),t ? 0}，{N (t), t ? 0}是强度分别为? ， ? 且相互独立 1 2 1 2 的 Poisson 过程， 记 T k 为{N 1 (t),t ? 0} 的第 k 次事件发生的等待时间， V 为 1 {N (t), t ? 0}第 1 次事件发生的等待时间．求P(T 2 k ? V ) ． 1 4、(12 分){X , n ? 1,2, } 为独立同分布的随机变量序列，具有如下分布 n P( X n ? 1) ? P( X n ? ?1) ? 1 n ? 1,2, 2 令 S ? ? n n X ． i?1 i 求随机过程{S , n ? 1,2, n }的均值函数和自相关函数； 判断{S , n ? 1,2, }是否为宽平稳过程． n 四 、证明题（共 14 分） 1、设 ?N 1 i (t),t ? 0?， i ? 1,2, , n 是 n 个相互独立的 Poisson 过程，参数分别为 ? ， ?i ? 1,2, , n ，试证?N (t)=? ?  n N i ?1 i  i(t),t ? 0 是Poisson 过程． i