幂级数教案完整版.doc

PAGE PAGE 11 时间 月日 星期 课 题 §12-3 幂级数 教学目的 1．了解幂级数的收敛域的构造及求法； 2．掌握利用幂级数的性质求和函数，以及利用和函数求某些数项级数的和。 教学重点 幂级数收敛域的求法，求和函数 教学难点 求幂级数的和函数 课 型 专业基础课 教法选择 讲 授 教 学 过 程 教法运用及板书要点 函数项数的概念 设有定义在区间 上的函数列 由该函数列构成的表达式 （1） 称作函数项级数.而 （2） 称为函数项级数（1）的前项部分和. 对于确定的值，如常数项级数 （3） 收敛，则称函数项级数在点收敛，点是函数项级数的收敛点；若发散，则称函数项级数在点发散，点是函数项级数的发散点.函数项级数的全体收敛点的集合称为它的收敛域；函数项级数的全体发散点的集合称为它的发散域.. 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 设函数项级数的收敛域为，则对内任意一点，收敛， 其收敛的和自然依赖于，即其收敛和应为的函数，记为；称函数为函数项级数的和函数. 的定义域就是级数的收敛域，并记为 则在收敛域上有.把叫做函数项级数的余项，对收敛域上的每一点，有 . 从以上的定义可知，函数项级数在区域上的敛散性问题是指在该区域上的每一点的敛散性，因而其实质还是常数项级数的敛散性问题.因此我们仍可以用数项级数的审敛法来判别函数项级数的敛散性. 幂级数及其收敛性 1、 幂级数的定义: 函数项级数中最简单且最常见的一类级数是各项均为幂函数的函数项级数，称其为幂级数，它的形式是 (3) 其中常数称作幂级数的系数. 注：幂级数的表示形式也可以是 它是幂级数的一般形式，作变量代换即可以把它化为(3)的形式.因此在以后的讨论中，如不作特殊说明，我们用幂级数(3)作为主要的讨论对象如:1+x+x2+…+…xn+…, 1+x+x2+…+xn+…都是幂级数. 幂级数的收敛域与发散域 x取数轴上哪些点时幂级数收敛,取哪些点是幂级数发散?这就是幂级数的收敛性问题. 考察幂级数1+x+x2+…+xn+… 解: 当|x|<1时,这级数收敛于和; 当|x|≥1时,这级数发散. 因此,这幂级数的收敛区域是开区间(-1,1),发散域是(-∞,-1)及[1,+∞]. 如果x在区间(-1,1)内取值,则 =1+x+x2+…xn+… 在这个例中这个幂级数的收敛域是一个区间, 事实上,对于一般的幂级数如下定理: 定理1(阿贝尔定理): 如果级数当x=x0(x0≠0)时收敛,则适合不等式|x|<|x0|的一切x,这幂级数收敛且绝对收敛,反之.如果级数当x=x0时发散,则适合不等式|x|>|x0|的一切x这幂级数发散. 证明:设x0是幂级数(3)的收敛点,即级数a0+a1x0+a2x02+…+anx0n+…收敛. 根据级数收敛的必要条件,有 anx0n=0,于是存在一个常数M,使得 |anx0n|≤M (n=0,1,2,…). 这样级数(3)的一般项的绝对值 |anxn|=|anx0n?|= |anx0n|?||n≤M||n 因为当|x|<|x0|时,等比级数M||n收敛 (公比||<1), 所以级数|anxn|收敛, 即级数anxn绝对收敛. 定理的第二部分可用反证法证明： 倘若幂级(3)当x=x0时发散,而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛,则级数当x=x0时应收敛,这与假设矛盾,定理得证. 阿贝尔定理很好地揭示了幂级数的收敛域与发散域的结构：定理1的结论表明，如果幂级数在处收敛，则可断定在开区间之内的任何，幂级数必收敛；如果幂级数在处发散，则可断定在闭区间之外的任何，幂级数必发散.至此断定幂级数的发散点不可能位于原点与收敛点之间（因原点必是幂级数的收敛点）. 设幂级数在数轴上既有收敛点(且不仅仅只是原点)，也有发散点，于是，我们可以这样来寻找幂级数的收敛域与发散域.首先从原点出发，沿数轴向右搜寻，最初只遇到收敛点，然后就只遇到发散点，设这两部分的界点为，而点则可能是收敛点，也可能是发散点.再从原点出发，沿数轴向左方搜 寻，相仿也可找到另一个收敛域与发散域的分界点；位于点与之间的区域就是幂级数的收敛域，位于这两点之外的区域就是幂级数的发散域，且两个分界点关于原点对称（图7－4－1）.至此我们可得到如下重要推论： 推论1 如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必存在一个确定的正数存在，使得 （1）当时，