第38届中学生物理竞赛(扬州、福建赛区)复赛理论和实验解答.docx

第 1 页 共 1 0 页 第38届全国中学生物理竞赛复赛(扬州)理论考试 参考解答 一 、 ( 1 ) 设 斜 面M 的加速度为a (向右为正),滑块m 相对斜面运动的位移为x (向下为正), 则 m 相 对M 的加速度为x. 在地面系中， M 和 m 整体水平方向有 4 4 分 ① 4 分 ② 4 分 ③ 4 分 ④ 可得 在 M 参考系中， m 沿斜面方向的动力学方程(引入水平向左的惯性力ma) mgsinθ-kx-macosθ=mx 将②式代入③式，得 由此式可看出m 相 对M 做简谐振动，振动周期 4分⑤ (注：当θ=0时， (2)由④式可得 ;当θ=90°时， 2 2 分 ⑥ 4 分 ⑦ 2 分 ⑧ 2 分 ⑨ 2 分 ⑩ ), 结合初始条件，即t=0 时 x(0)=0, (0)=0 可得 φ=π 所以 4分? 代入②式可得 4分? 第 2 页 共 1 0 页 二 、 (1)太阳单位时间辐射出的总能量 4分① 距离太阳r 处的太阳帆上单位时间接收到的能量 4分② 太阳帆受到的光压力 4分③ 卫星受到的合力 4分④ (2)结合题中数据 2 分 ⑤ 所以卫星受到的合力是平方反比吸引力，对应的势能 太阳帆张开前，卫星到太阳的距离为ro 太阳帆张开前，卫星到太阳的距离为ro, 卫星运行周期为T?=1 年，卫星运行速度为vo, 则 2 分 ⑦ 太阳帆张开后，卫星的机械能 4分⑧ 所以卫星的运动轨迹是 椭圆，轨迹闭合4分⑨ 椭圆，轨迹闭合 由椭圆轨道的机械能公式 4分⑩ 可得椭圆轨道的半长轴 2 分 ① 由椭圆轨道的周期公式可得 4分? 第 3 页 共10 页 三 、 (1)圆筒中心O 向右运动的速度v=(, 因为圆筒 在地面上无滑滚动，所以圆筒绕中心O 转动的角速 度 2 分 ① 小圆柱中心C 相对圆筒中心O 的速度vc=6(R-r), 因为小圆柱在圆筒内无滑滚动，所以小圆柱绕中心 C 转动的角速度 2 分 ② 设圆筒受到地面的静摩擦力为fi, 小圆柱受到圆筒的静摩擦力为f2, 对系统有水平方向的动 量定理 对圆筒有绕其质心轴O 的角动量定理 对小圆柱有绕其质心轴C 的角动量定理 由③④⑤式结合①②式可得 即 释放时x=0 、θ=90° 、δ=0, 小圆柱运动至最低点时θ=0,所以 系统运动过程中有机械能守恒 将⑦式及①②式代入，解得 2 分 ③ 2 分 ④ 2 分 ⑤ 2 分 ⑥ 2 分 ⑦ 2 分 ⑧ ⑨ 在圆筒平动参考系中(当小圆柱运动到最低点时，圆筒水平方向受力为零，为惯性参考系), 对小圆柱有质心运动定理 N-mg=macn=mθ2(R-r) 2 分 ⑩ 解得小圆柱与圆筒间的压力 2分? (2) (i) 若θ为小量，则sinθ≈8 、cosθ≈1, 由⑥式对时间求导可得 第 4 页 共 1 0 页 2分? 在圆筒平动参考系中，对小圆柱有质心运动定理(引入水平向左的惯性力mi) f?-mgsinθ-mcosθ=mac:=mθ(R-r) ? 将⑤式及②式代入并考虑到θ为小量可得 2分? ?式及⑩式即为所求的关于x 和θ的动力学方程组. (ii) ①整体匀速运动模式： 要求x=0, 由?式可知要求6=0,由?式可知要求θ=0,所以初始条件应满足的关系为 θ(0)=0,0(0)=0(x(0) 和i(0) 任意) 2分? ②往返振动模式： 要求x 和θ应同步振动，由?式可得 ? 所以初始条件应满足的关系为 )(x(0) 和0(0)任意) 2分? (ii) 将?式代入?式可得 可见θ做简谐振动，振动周期 2分⑩ (3)系统的一般运动为整体匀速运动模式和往返振动模式的叠加， x(1)和 0(t)的解可写为 , ? 由初始条件0(0)=6、0(0)=0可得 B= ,φ=0, 即0(1)=6 cosot 由?式可得 由初始条件x(0)=0 、x(0)=v? 可得 a=Vo, 4分① 2分② 4分② ①式和②式即为所求的结果 第 5 页 共10 页 四 、 (1)设电势分布为 V(x), 电子从阴极发出后，由动能定理 设阴极和阳极之间形成稳定的电流I, 则 I=p(x)v(x)A 得到 设电场分布为E(x