初中数学讲义初二上册与三角形有关的角(提高)知识讲解.docx

与三角形有关的角（提升）知识解说 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行有关的计算，证明问题. 【重点梳理】 重点一、三角形的内角 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 重点解说：应用三角形内角和定理能够解决以下三类问题：①在三角形中已知随意两个角的度数能够求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，能够求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系． 2.直角三角形：假如一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形. 重点解说：假如直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是 45°，且此直角三角形是等腰直角三角形. 重点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延伸线构成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 重点解说： 外角的特点：①极点在三角形的一个极点上；②一条边是三角形的一边； ③另一条边是三角形某条边的延伸线． 2）三角形每个极点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，往常每个极点处取一个外角，所以，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： 1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 2）三角形的一个外角大于随意一个与它不相邻的内角． 重点解说：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明常常使用的理论依照．此外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 重点解说：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是 180°， 可推出三角形的三个外角和是360°． 【典型例题】 种类一、三角形的内角和 1．（2016春?东平县期中）合适条件∠A=∠B=∠C的三角形必定是（） A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．随意三角形 【思路点拨】设∠A=x，则∠B=x，∠C=3x．依据三角形的内角和是180°，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 【答案与分析】 解：设∠A=x，则∠B=x，∠C=3x． 依据三角形的内角和定理，得 x+x+3x=180，x=36． 则∠C=108°． 则该三角形是钝角三角形,应选B． 【总结升华】此题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为奇妙． 贯通融会： 【变式1】三角形中起码有一个角不小于________度． 【答案】60. 【变式2】（2015春?新沂市校级月考）如图，BE、CF都是△ABC的角均分线，且∠BDC=110°， 则∠A=． 【答案】40°. 解：∵BE、CF都是△ABC的角均分线， ∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）， =180°﹣2（∠DBC+∠BCD） ∵∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠BCD）， ∴∠A=180°﹣2（180°﹣∠BDC） ∴∠BDC=90°+∠A， ∴∠A=2（110°﹣90°）=40°． 在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种状况，分类议论． 【答案与分析】 解：分两种状况议论： （1）当△ABC为锐角三角形时，如下图，在△ABD中， BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)， ∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠ABC+∠C＝120°， 又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°． (2)当△ABC为钝角三角形时，如下图．在直角△ABD中， ∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°． ∴∠BAC＝120°． 又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠ABC+∠C＝60°． ∴∠C＝30°． 综上，∠C的度数为60°或30°． 【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解 答者一定具备依据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完好性和其余各样可能性，双解 和多解问题也是我们在学习过程中应当注意的一个重要环节． 种类二、三角形的外角 【高清讲堂：与三角形有关的角例4、】 如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的均分线，∠B=50o，∠C=70o， 求∠DAE． 【答案与分析】 解：∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－50°－70°＝60°, 又AD为∠BAC的均分线, 所以∠BAD＝1BAC＝30°, 2 ∠ADE＝∠B＋∠BAD＝50o＋30°＝80°, 又AE⊥BC于E,