23内积空间与希尔伯特空间金融证券行业分析.pdf

2.3 内积空间与希尔伯特空间 通过前面的学习，知道 n 维欧氏空间就是 n 维线性赋范空间的“模型”，范数相当于向量 的模，表 明了线性赋范空间的代数结构. 对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两 个向量有夹角，例如 为向量 和 的夹角时有：cos _—或者 | cos ，其中 表示两个向量的数量积( 或点积或内积) ，I I 表示向量的模. 于是便有了直交性、 直交投影以及 向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构” . 通过在线性空间上定义内积，可得到 内积空间，由内积可导出范数，若完备则为 Hilbert 空间. 2.3.1 内积空间 定义 1.1 设 U 是数域 K 上的线性空间，若存在映射( ，) ：U U K , 使得 x,y,z U , K , 它满足以下内积公理： (1) (x,x) 0 ； (x,x) 0 x 0 ； 正定性( 或非负性) ⑵ (x, y) (y,x) ； 共轭对称性 ⑶ (x 乙 y) (x, y) ( 乙 y) , 线性性 ( ，) ( ( 则称在 U 上定义了内积 ，称 x,y) 为 x 与 y 的内积，U 为 K 上的内积空间 Inner product spaces) . 当 K R 时，称 U 为实内积空间；当 K C 时，称 U 为复内积空间. 称有限维的实内 积空间为欧几里德 (Euclid spaces) 空间 ，即为欧氏空间；称有限维的复内积空间为酉 ( Unitary spacey 空间. 注 1: 关于复数：设 z a bi C ，那么 z . a 2 b 2 oz ； z r(cos isin ) 其中为辐 射角、r z ； z z \L ； z z ; 对于 Z ,z C ，有乙 Z 乙 Z . 1 2 2 注 2 : 在实内积空间中，第二条 内积公理共轭对称性变为对称性 . 注 3 : 在复内积空间中，第三条 内积公理为 第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的. 因为(x, y) ( y, x) (y, x) (y,x) (x, y) ，所以有 (x, y z) _ (x,y) (x,z) , 即对于第二变元是共轭线性的. 在实内积空间中，第三条 内积公理为第一变兀 、 第二变兀均为 线性的. 在 维欧氏空间 Rn 中， n ，有 , 即| 丨丨 丨| . 下 n ,R cos cos | 面的引理说明这样的性质在内积空间上同样成立. 如果在内积空间上定义范数 x (x,xf , 其 1 中 x U ，通过 Schwarz 不等式可证明 U 为线性赋范空间，即需 验证