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高中数学总复习知识点专题讲解与练习
专题 10 数列大题 (二)
1．(2020·课标全国Ⅲ，理)设数列{a }满足 a ＝3，a ＝3a －4n.
n 1 n＋1 n
(1)计算 a ，a ，猜想{a }的通项公式；
2 3 n
n
(2)求数列{2 a }的前n 项和 S .
n n
解析 (1) 由题意可得a ＝3a －4 ＝9 －4 ＝5 ，a ＝3a －8＝15－8＝7 ，a ＝3a －12＝9 ，….
2 1 3 2 4 3
可猜想数列{a }是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即a ＝2n ＋1.
n n
n n
(2) 由(1)可知，a ·2 ＝(2n ＋1)·2 ，
n
2 3 n －1 n
S ＝3 ×2 ＋5 ×2 ＋7 ×2 ＋…＋(2n －1)·2 ＋(2n ＋1)·2 ，①
n
2 3 4 n n ＋1
2S ＝3 ×2 ＋5 ×2 ＋7 ×2 ＋…＋(2n －1)·2 ＋(2n ＋1)·2 ，②
n
2 3 n n＋1
由①－②得－S ＝6 ＋2 ×(2 ＋2 ＋…＋2 ) －(2n ＋1)·2
n
2 n －1
2 × （1－2 ）
＝6 ＋2 × －(2n ＋1)·2n ＋1 ＝(1－2n)·2n ＋1－2 ，
1－2
即S ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.
n
2 ．已知正项数列{a }的首项a ＝1，其前n 项和为 S ，且a 与 a 的等比中项是 2S .
n 1 n n n ＋1 n
(1)证明：{a －a }是等差数列，并求数列{a }的通项公式；
n ＋2 n n
1 n
(2)数列{b }满足 b ＝ ，其前n 项和为 T ，求使得 T < 的n 的取值范围．
n n a a n n 2n
n ＋1 n ＋2
解析 (1)证明：∵a 与a 的等比中项是 2S ，
n n＋1 n
∴2S
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